Extension of the Two-Variable Pierce-Birkhoff conjecture to generalized polynomials
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. S1, pp. 37-56.

En 1984, L. Mahé, et indépendammant G. Efroymson, ont prouvé le cas où n2 de la conjecture de Pierce-Birkhoff (1956) : une fonction h: n continue polynomiale par morceaux peut s’écrire comme sup i inf j f ij , pour une collection finie de polynômes f ij [x 1 ,...,x n ]. (Un exemple simple est h(x 1 )=|x 1 |=sup{x 1 ,-x 1 }.) La conjecture reste ouverte pour n3. Dans cet article, nous prouvons (encore pour n2) un résultat analogue pour « polynômes généralisés », où les exposants peuvent être des nombres réels arbitraires, et non pas seulement des nombres naturels ; dans cette version, nous limitons le domaine à l’orthant positif, où chaque x i >0.

Let h: n be a continuous, piecewise-polynomial function. The Pierce-Birkhoff conjecture (1956) is that any such h is representable in the form sup i inf j f ij , for some finite collection of polynomials f ij [x 1 ,...,x n ]. (A simple example is h(x 1 )=|x 1 |=sup{x 1 ,-x 1 }.) In 1984, L. Mahé and, independently, G. Efroymson, proved this for n2; it remains open for n3. In this paper we prove an analogous result for “generalized polynomials” (also known as signomials), i.e., where the exponents are allowed to be arbitrary real numbers, and not just natural numbers; in this version, we restrict to the positive orthant, where each x i >0. As before, our methods work only for n2.

DOI : 10.5802/afst.1274
Delzell, Charles N. 1

1 Department of Mathematics Louisiana State University Baton Rouge, Louisiana 70803 USA
@article{AFST_2010_6_19_S1_37_0,
     author = {Delzell, Charles N.},
     title = {Extension of the {Two-Variable} {Pierce-Birkhoff} conjecture to generalized polynomials},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {37--56},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de math\'ematiques},
     address = {Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 19},
     number = {S1},
     year = {2010},
     doi = {10.5802/afst.1274},
     mrnumber = {2675720},
     language = {en},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1274/}
}
TY  - JOUR
AU  - Delzell, Charles N.
TI  - Extension of the Two-Variable Pierce-Birkhoff conjecture to generalized polynomials
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2010
SP  - 37
EP  - 56
VL  - 19
IS  - S1
PB  - Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques
PP  - Toulouse
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1274/
DO  - 10.5802/afst.1274
LA  - en
ID  - AFST_2010_6_19_S1_37_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Delzell, Charles N.
%T Extension of the Two-Variable Pierce-Birkhoff conjecture to generalized polynomials
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2010
%P 37-56
%V 19
%N S1
%I Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques
%C Toulouse
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1274/
%R 10.5802/afst.1274
%G en
%F AFST_2010_6_19_S1_37_0
Delzell, Charles N. Extension of the Two-Variable Pierce-Birkhoff conjecture to generalized polynomials. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. S1, pp. 37-56. doi : 10.5802/afst.1274. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/afst.1274/

[Birkhoff, et al., 1956] G. Birkhoff and R.S. Pierce, Lattice ordered rings, Anais Acad. Bras. Ci. 28 (1956), 41–69; Math. Reviews 18, 191. | MR | Zbl

[Delzell, 1989] C. Delzell, On the Pierce-Birkhoff conjecture over ordered fields, Rocky Mountain J. Math. 19(3) (Summer 1989), 651–68. | MR | Zbl

[Delzell, 1990] C. Delzell, Suprema of infima of rational functions, Abstracts of Papers Presented to the Amer. Math. Soc. 11, Number 4, Issue 70 (August 1990), #858-14-80, p. 337.

[Delzell, 2005] C. Delzell, “Suprema of infima of generalized rational functions,” Abstract of a talk presented in: “Workshop: Real algebra, quadratic forms and model theory; algorithms and applications, November 2–9, 2005,” held during and as part of the Special Trimester on Real Geometry (September–December 2005), Centre Emile Borel, Institut Henri Poincaré, Paris. (Abstract published in the Workshop program: http://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/Borel/w1prog.html; see also http://www.ihp.jussieu.fr/ceb/Trimestres/T05-3/C1/index.html.)

[Delzell, 2008] C. Delzell, Impossibility of extending Pólya’s theorem to “forms” with arbitrary real exponents, J. Pure Appl. Algebra 212 (2008), 2612–22. | MR | Zbl

[Dries, 1998] L. van den Dries, Tame Topolgy and O-minimal Structures, London Math. Soc. Lect. Note Series, vol. 248, Cambridge Univ. Press, 1998. | MR | Zbl

[Hager, et al., 2010] A.W. Hager and D.G. Johnson, Some comments and examples on generation of (hyper-)archimedean -groups and f-rings, Annales Faculté Sciences Toulouse, in press.

[Henriksen, et al., 1962] M. Henriksen and J.-R. Isbell, Lattice ordered rings and function rings, Pacific J. Math. 12 (1962), 533–66. | MR | Zbl

[Madden, 1989] J. Madden, Pierce-Birkhoff rings, Archiv der Math. (Basel) 53(6) (1989), 565–70. | MR | Zbl

[Mahé, 1984] L. Mahé, On the Pierce-Birkhoff conjecture, Rocky Mountain J. Math. 14 (1984), 983–5. | MR | Zbl

[Miller, 1994] Chris Miller, Expansions of the real field with power functions, Ann. Pure Appl. Logic 68 (1994), 79–94. | MR | Zbl

[Ruiz, 1993] Jesús Ruiz, The Basic Theory of Power Series, Advanced Lectures in Mathematics, Vieweg, 1003. | MR

[Sturm, 1829] C. Sturm, “Extrait d’un Mémoire de M. Sturm, presenté à l’Académie des sciences, dans un séance du I er juin 1829,” Bulletin des Sciences Mathématiques, Physiques, et Chimiques, 1 re Section du Bulletin Universel, publié sous les auspices de Monseigneur le Dauphin, par la Société pour la Propagation des Connaissances Scientifiques et Industrielles, et sous la Direction de M. Le Baron de Férussac, Paris, Vol. 11 (1829), article # 272, pp. 422–5.

Cité par Sources :