The modulus of analytic classification for the unfolding of the codimension-one flip and Hopf bifurcations

Arriagada-Silva, Waldo; Rousseau, Christiane

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 20 (2011) no. 3, pp. 541-580.

Dans cet article, nous étudions la classification sous conjugaison analytique (faible) des germes de familles analytiques génériques à un $1$ paramètre, ${𝒬}_{\epsilon },$ déployant des germes de difféomorphismes ${𝒬}_0:(ℝ,0)\to (ℝ,0)$ de codimension $1,$ ayant un point fixe à l’origine et de multiplicateur $-1.$ Ces germes sont des déploiements génériques de la bifurcation de doublement de période. Deux germes sont analytiquement conjugués si et seulement si leurs itérés d’ordre 2, ${𝒫}_{\epsilon }={𝒬}_{\epsilon }^{\circ 2},$ sont analytiquement conjugués. On donne un module complet de classification analytique : ce module est un déploiement du module d’Écalle du germe résonant ${𝒬}_0$ avec des propriétés de symétrie reflétant le caractère réel du germe ${𝒬}_{\epsilon }.$ Ceci donne, comme application, un module complet de classification analytique sous équivalence orbitale faible pour un germe de famille de champs de vecteurs du plan ayant une bifurcation de Hopf générique de codimension $1$ par le biais du module de classification analytique du germe de famille ${𝒫}_{\epsilon }={𝒬}_{\epsilon }^{\circ 2},$ où ${𝒫}_{\epsilon }$ est l’application de premier retour de Poincaré de la famille de champs de vecteurs.

In this paper we study equivalence classes of generic $1$-parameter germs of real analytic families ${𝒬}_{\epsilon }$ unfolding codimension $1$ germs of diffeomorphisms ${𝒬}_0:(ℝ,0)\to (ℝ,0)$ with a fixed point at the origin and multiplier $-1,$ under (weak) analytic conjugacy. These germs are generic unfoldings of the flip bifurcation. Two such germs are analytically conjugate if and only if their second iterates, ${𝒫}_{\epsilon }={𝒬}_{\epsilon }^{\circ 2},$ are analytically conjugate. We give a complete modulus of analytic classification: this modulus is an unfolding of the Ecalle modulus of the resonant germ ${𝒬}_0$ with special symmetry properties reflecting the real character of the germ ${𝒬}_{\epsilon }.$ As an application, this provides a complete modulus of analytic classification under weak orbital equivalence for a germ of family of planar vector fields unfolding a weak focus of order $1$ $(i.e.$ undergoing a generic Hopf bifurcation of codimension $1)$ through the modulus of analytic classification of the germ of family ${𝒫}_{\epsilon }={𝒬}_{\epsilon }^{\circ 2},$ where ${𝒫}_{\epsilon }$ is the Poincaré monodromy of the family of vector fields.

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