An Analytic Description of Local Intersection Numbers at Non-Archimedian Places for Products of Semi-Stable Curves

Kolb, Johannes

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 25 (2016) no. 1, pp. 19-63.

Nous généralisons une formule de Shou-Wu Zhang [8, Thm 3.4.2], qui donne une description en termes d’analyse élémentaire pour le nombre d’intersections arithmétiques locales de trois diviseurs de Cartier à support dans la fibre spéciale sur l’auto-produit d’une surface arithmétique semi-stable. Par un argument d’approximation, Zhang étend sa formule à une formule pour les nombres d’intersections arithmétiques locaux de trois fibrés en droites avec des métriques adéliques sur l’auto-produit d’une courbe sous condition que le fibré en droites sous-jacent soit trivial. En utilisant les résultats en théorie de l’intersection de [5] nous généralisons les résultats de Zhang aux $d$-iemes auto-produits pour un nombre naturel arbitraire $d$. Pour que les approximations convergent, nous devons supposer que le nombre naturel $d$ satisfait une certaine condition d’annulation [5, 4.7]. Cette condition est satisfaite au moins pour $d\in {\{2,3,4,5\}}^2$

We generalize a formula of Shou-Wu Zhang [8, Thm 3.4.2], which describes local arithmetic intersection numbers of three Cartier divisors with support in the special fiber on a self-product of a semi-stable arithmetic surface using elementary analysis. By an approximation argument, Zhang extends his formula to a formula for local arithmetic intersection numbers of three adelic metrized line bundles on the self-product of a curve with trivial underlying line bundle. Using the results on intersection theory from [5] we generalize these results to $d$-fold self-products for arbitrary $d$. For the approximations to converge, we have to assume that $d$ satisfies the vanishing condition [5, 4.7], which is true at least for $d\in {\{2,3,4,5\}}^3$

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[7] Zhang (S.W.).— Small points and adelic metrics. J. Algebraic Geom., Bd. 4(2), p. 281-300 (1995). | Zbl

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