Systèmes de points dans les dg-catégories saturées

Bertrand Toën; Vaquié, Michel

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 25 (2016) no. 2-3, pp. 583-618.

Dans ce travail nous considérons le problème de réaliser géométriquement les catégories triangulées (plutôt les dg-catégories triangulées) comme des catégories dérivées de variétés algébriques. Pour cela, on introduit la notion de système de points dans une dg-catégorie saturée $T$. Nous montrons que la donnée d’un tel système permet de construire un espace algébrique $M_{𝒫}$, de type fini, lisse et séparé, ainsi qu’un dg-foncteur de $T$ vers une version tordue de la dg-catégorie dérivée de $M_{𝒫}$. On montre de plus que ce dg-foncteur est une équivalence si et seulement si $M_{𝒫}$ est propre. Tout au long de ce travail nous étudions les t-structures sur les familles algébriques d’objets dans $T$, ce qui possède possiblement un intérêt en soi indépendant du thème de ce travail.

In this work we consider the problem of realizing geometrically triangulated categories (or rather triangulated dg-categories) as derived categories of algebraic varieties. For this, we introduce the notion of system of points in a given saturated dg-category $T$. We show that such a system of points can be used to construct an algebraic space of finite type $M_{𝒫}$, smooth and separated, as well as a dg-functor from $T$ to a twisted version of the derived dg-category of $M_{𝒫}$. We show furthermore that this dg-functor is an equivalence if and only if $M_{𝒫}$ is proper. All along this work we also study t-structures on algebraic families of objects in $T$ which might be of independant interest.

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