$L^2$-theory for the $\overline{\partial }$-operator on complex spaces with isolated singularities

Ruppenthal, Jean

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 28 (2019) no. 2, pp. 225-258.

Le présent article est un complément à la théorie de $L^2$ pour l’opérateur $\overline{\partial }$ sur un espace complexe hermitien $X$ de dimension pure $n$ avec des singularités isolées, présenté dans [17] et [13]. La philosophie générale est d’utiliser une résolution de singularités $\pi :M\to X$ pour obtenir un modèle « régulier » de la $L^2$-cohomologie.

Tout d’abord, nous montrons comment la représentation de la $L_{loc}^2$-cohomologie de $X$ au niveau de $(n,q)$-formes en termes de la $L_{loc}^2$-cohomologie « réguliere » sur $M$, donnée dans [17], peut être fait explicite en termes de formes différentielles, si une certaine condition supplémentaire raisonnable est remplie. Deuxièmement, nous prouvons la déclaration analogue pour la $L^2$-cohomologie, ce qui est un nouveau résultat. Enfin, nous l’utilisons en combinaison avec des observations de dualité pour donner une nouvelle preuve des principaux résultats de [13], où la résolution $\pi :M\to X$ est utilisée pour exprimer la $L^2$-cohomologie de $X$ sur le niveau de $(0,q)$-formes en termes de $L^2$-cohomologie « régulière » sur $M$.

The present paper is a complement to the $L^2$-theory for the $\overline{\partial }$-operator on a Hermitian complex space $X$ of pure dimension $n$ with isolated singularities, presented in [17] and [13]. The general philosophy is to use a resolution of singularities $\pi :M\to X$ to obtain a “regular” model of the $L^2$-cohomology.

First, we show how the representation of the $L_{loc}^2$-cohomology of $X$ on the level of $(n,q)$-forms in terms of “regular” $L_{loc}^2$-cohomology on $M$, given in [17], can be made explicit in terms of differential forms, if a certain reasonable extra condition is satisfied. Second, we prove the analogous statement for $L^2$-cohomology, which is a new result. Finally, we use this in combination with duality observations to give a new proof of the main results from [13], where the resolution $\pi :M\to X$ is used to express the $L^2$-cohomology of $X$ on the level of $(0,q)$-forms in terms of “regular” $L^2$-cohomology on $M$.

Classification : 32J25, 32C35, 32W05
Mots clés : Cauchy–Riemann equations, $L^2$-theory, singular complex spaces

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