Presqu’un immeuble pour le groupe des automorphismes modérés

Lamy, Stéphane; Przytycki, Piotr

Annales Henri Lebesgue, Tome 4 (2021), pp. 605-651.

Inspirés par l’immeuble de Bruhat–Tits du groupe ${SL}_n\left(𝔽\right)$, pour $𝔽$ un corps valué, nous construisons un espace métrique complet $\mathbf{X}$ sur lequel agit le groupe $Tame\left({𝕜}^n\right)$ des automorphismes modérés de l’espace affine. Les points de $\mathbf{X}$ sont certaines valuations monomiales, et $\mathbf{X}$ admet une structure naturelle de CW-complexe euclidien de dimension $n-1$. Quand $n=3$, et pour $𝕜$ de caractéristique zéro, nous prouvons que $\mathbf{X}$ est localement $CAT\left(0\right)$ et simplement connexe, et par conséquent $\mathbf{X}$ est un espace $CAT\left(0\right)$. En application nous obtenons la linéarisabilité des sous-groupes finis de $Tame\left({𝕜}^3\right)$.

Inspired by the Bruhat–Tits building of ${SL}_n\left(𝔽\right)$, for $𝔽$ a field with a valuation, we construct a complete metric space $\mathbf{X}$ with an action of the tame automorphism group of the affine space $Tame\left({𝕜}^n\right)$. The points in $\mathbf{X}$ are certain monomial valuations, and $\mathbf{X}$ admits a natural structure of Euclidean CW-complex of dimension $n-1$. When $n=3$, and for $𝕜$ of characteristic zero, we prove that $\mathbf{X}$ is locally $CAT\left(0\right)$ and simply connected, hence $\mathbf{X}$ is a $CAT\left(0\right)$ space. As an application we obtain the linearizability of finite subgroups in $Tame\left({𝕜}^3\right)$.

Classification : 14R10, 20F67, 51E24
Mots clés : automorphisme modéré, valuation, espace CAT(0)

[AB08] Abramenko, Peter; Brown, Kenneth S. Buildings. Theory and applications, Graduate Texts in Mathematics, 248, Springer, 2008 | Zbl

[BFJ08] Boucksom, Sébastien; Favre, Charles; Jonsson, Mattias Valuations and plurisubharmonic singularities, Publ. Res. Inst. Math. Sci., Volume 44 (2008) no. 2, pp. 449-494 | DOI | MR | Zbl

[BFL14] Bisi, Cinzia; Furter, Jean-Philippe; Lamy, Stéphane The tame automorphism group of an affine quadric threefold acting on a square complex, J. Éc. Polytech., Math., Volume 1 (2014), pp. 161-223 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[BH99] Bridson, Martin R.; Haefliger, André Metric spaces of non-positive curvature, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319, Springer, 1999 | MR | Zbl

[Bou68] Bourbaki, Nicolas Éléments de mathématique. Fasc. XXXIV. Groupes et algèbres de Lie. Chapitre IV : Groupes de Coxeter et systèmes de Tits. Chapitre V : Groupes engendrés par des réflexions. Chapitre VI : systèmes de racines, Actualités Scientifiques et Industrielles, 1337, Hermann, 1968 | Zbl

[BT84] Bruhat, François; Tits, Jacques Schémas en groupes et immeubles des groupes classiques sur un corps local, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 112 (1984) no. 2, pp. 259-301 | DOI | Numdam | Zbl

[BvdEW12] Berson, Joost; van den Essen, Arno; Wright, David Stable tameness of two-dimensional polynomial automorphisms over a regular ring, Adv. Math., Volume 230 (2012) no. 4-6, pp. 2176-2197 | DOI | MR | Zbl

[DGO17] Dahmani, François; Guirardel, Vincent; Osin, Denis V. Hyperbolically embedded subgroups and rotating families in groups acting on hyperbolic spaces, Memoirs of the American Mathematical Society, 245, American Mathematical Society, 2017 | MR | Zbl

[FJ07] Favre, Charles; Jonsson, Mattias Eigenvaluations, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 40 (2007) no. 2, pp. 309-349 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[FMJ02] Freudenburg, Gene; Moser-Jauslin, Lucy A nonlinearizable action of $S_3$ on ${\mathbf{C}}^4$, Ann. Inst. Fourier, Volume 52 (2002) no. 1, pp. 133-143 | DOI | MR | Zbl

[GR08] Gaussent, Stéphane; Rousseau, Guy Kac-Moody groups, hovels and Littelmann paths, Ann. Inst. Fourier, Volume 58 (2008) no. 7, pp. 2605-2657 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[Lam02] Lamy, Stéphane Une preuve géométrique du théorème de Jung, Enseign. Math., Volume 48 (2002) no. 3-4, pp. 291-315 | Zbl

[Lam19] Lamy, Stéphane Combinatorics of the tame automorphism group, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., Volume 28 (2019) no. 1, pp. 145-207 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[LP19] Lamy, Stéphane; Przytycki, Piotr Acylindrical hyperbolicity of the three-dimensional tame automorphism group, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 52 (2019) no. 2, pp. 367-392 | DOI | MR | Zbl

[OS02] Oliver, Bob; Segev, Yoav Fixed point free actions on $\mathbf{Z}$-acyclic 2-complexes, Acta Math., Volume 189 (2002) no. 2, pp. 203-285 | DOI | MR | Zbl

[Pap14] Papadopoulos, Athanase Metric spaces, convexity and non-positive curvature, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 6, European Mathematical Society, 2014 | MR | Zbl

[Par00] Parreau, Anne Immeubles affines : construction par les normes et étude des isométries, Crystallographic groups and their generalizations, II. Proceedings of the workshop, Katholieke Universiteit Leuven, Campus Kortrijk, Belgium, May 26–28, 1999 (Contemporary Mathematics), Volume 262, American Mathematical Society, 2000, pp. 263-302 | MR | Zbl

[Sus77] Suslin, Andreĭ A. On the structure of the special linear group over polynomial rings, Math. USSR, Izv., Volume 11 (1977), pp. 221-238 | DOI | Zbl

[Wri15] Wright, David The generalized amalgamated product structure of the tame automorphism group in dimension three, Transform. Groups, Volume 20 (2015) no. 1, pp. 291-304 | DOI | MR | Zbl