The type and the Green's kernel of an open Riemann surface

Narasimhan, M. S.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 10 (1960), pp. 285-296.

On donne dans cet article une nouvelle approche pour déterminer le type et construire la fonction de Green d’une surface de Riemann ouverte.

Soit $\Omega$ une surface de Riemann ouverte et $\stackrel{i}{{\mathbf{D}}^{\prime }}$ $(i=0,1,2)$ l’espace des courants de degré $i$. ${\mathbf{H}}_0$ désignera l’espace pré-hilbertien des fonctions $C^{\infty }$ à supports compacts muni du produit scalaire de Dirichlet. D’abord on dit qu’une surface de Riemann ouverte est de type hyperbolique si l’injection ${\mathbf{H}}_0\to \stackrel{0}{{\mathbf{D}}^{\prime }}$ est continue. Dans ce cas on démontre que le complété $\mathbf{H}$ de ${\mathbf{H}}_0$ est un espace de courants et que l’opérateur $d*d$ applique $\mathbf{H}$ isomorphiquement sur son dual ${\mathbf{H}}^{\prime }$. Soit $\mathbf{G}$ l’isomorphisme inverse. Le noyau de $\mathbf{G}$, au sens de L. Schwartz, est appelé le noyau de Green de la surface de Riemann hyperbolique. On démontre qu’une surface de Riemann est de type hyperbolique (au sens de la définition ci-dessus) si et seulement si elle possède une fonction de Green au sens classique ; dans ce cas, le noyau de Green est identique, à un facteur constant près, à la fonction de Green au sens classique.

Comme conséquence immédiate de la définition du type, on déduit l’invariance du type vis-à-vis des applications quasi-conformes .

[1] R. Courant and D. Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik II, Berlin, 1937. | JFM | Zbl

[2] J. Deny and J. L. Lions, Les espaces de type de Beppo-Levi, Annales de l'Institut Fourier, 5, (1953-1954), pp. 305-370. | Numdam | MR | Zbl

[3] Mme J. Lelong-Ferrand, Représentation conforme et tronsformations à intégrale de Dirichlet bornée, Paris, 1955. | Zbl

[4] J. L. Lions, Lectures on elliptic partial differential equations, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1957.

[5] J. L. Lions, Problèmes aux limites en théorie des distributions, Acta. Math. 94, (1955), pp. 13-153. | MR | Zbl

[6] B. Malgrange, Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution, Annales de l'Institut Fourier, VI (1955-1956), pp. 221-354. | Numdam | Zbl

[7] R. Nevanlinna, Uniformisierung, Berlin, 1953. | MR | Zbl

[8] A. Pfluger, Theorie der Riemannschen Flächen, Berlin, 1957. | Zbl

[9] A. Pfluger, Sur une propriété de l'application quasi-conforme d'une surface de Riemann ouverte, C.R. Acad. Sci (Paris), 227 (1948), 25-26. | MR | Zbl

[10] G. De Rham, Variétés différentiables, Paris, 1955. | Zbl

[11] L. Schwartz, Théorie des distributions I, Paris, 1957. | Zbl

[12] H. Weyl, The method of orthogonal projection in potential theory, Duke Math. J., 7 (1940), 411-444. | JFM | MR | Zbl