Deux remarques sur la géométrie symplectique de l'espace des feuilletages mesurés sur une surface

Papadopoulos, Athanase

Annales de l'Institut Fourier, Volume 36 (1986) no. 2, pp. 127-141.

We study 2 properties of the space $ℳℱ$ of measured foliations on a closed orientable surface, with respect to the piecewise-linear symplectic structure of this space, defined by Thurston:

We first prove that for a given foliation, the cone of transverses invariant measures imbeds in $\mathrm{ℳℱ}$ as an isotropic submanifold, recovering as a corollary a theorem due to Katok and others stating that the dimension of this cone is $\le 3g-3$, where $g$ is the genus of the surface.

We then prove a duality formula between the differential of the intersection function $i(y,·)$ (where $\gamma$ is a simple closed curve not homotopic to a point), and a certain vectorfield defined on a subspace of $ℳℱ$ where the differential makes sense; the vectorfield has a geometric interpretation as the tangent field to a 1-parameter family of homeomorphisms defined by “twisting” along the curve $\gamma$.

Cet article comprend deux parties indépendantes. On démontre d’abord que pour tout feuilletage dont les singularités sont des selles ayant au moins 3 séparatrices, sur une surface fermée orientable de genre $g\ge 2$, le cône des mesures transverses invariantes se plonge comme un sous-espace isotrope dans l’espace $ℳℱ$ des feuilletages mesures muni de sa structure symplectique linéaire par morceaux, définie par Thurston. On en déduit une nouvelle démonstration d’un résultat essentiellement du à Katok, qui affirme que le nombre de mesures transverses invariantes indépendantes est $\le 3g-3$.

On décrit ensuit le flot hamiltonien de la fonction intersection géométrique avec une courbe simple fermée.

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