D’après le développement classique d’une fonction harmonique de l’espace à dimensions au voisinage d’un point (ce point exclu), on sait que la limitation de croissance en moyenne du type : ou entraîne la même limitation vraie pour (et même ) par disparition dans le développement des termes de croissance plus rapide. L’auteur avait montré (Act. sc. ind. no 139 (1934)) que ce passage de à s’étend à sousharmonique admettant une majorante harmonique (au voisinage de , exclu) ; il fait maintenant à peu près disparaître cette restriction de majoration harmonique et développe une étude analogue pour le voisinage du point à l’infini. Voici l’idée de la théorie pour . Supposons sommable en voisin de o () et soit le plus grand entier . On développe selon , dont on prendra un partiel pour former ( mesure associée à ). Grâce à une étude comparée de l’allure de et , on verra que l’intégrale existe, que avec et que . De sorte que harmonique satisfait à cette même limitation vraie. On a ainsi une représentation intégrale dont on conclut que si , . On peut perfectionner et supprimer en particulier cet si est non entier ou si . Ce cas de est traité et approfondi autrement, par la méthode, simple en principe, mais délicate, de passage à la limite dans une intersphère, sur la représentation de Riesz avec fonction de Green ; elle est inspirée d’un travail récent de Heins (Annals of Math., 1949) donnant une représentation intégrale de sousharmonique dans le plan entier, avec des hypothèses que l’on améliore ici. Toute cette étude demande ou amène beaucoup de lemmes dont certains présentent de l’intérêt en eux-mêmes, en particulier des compléments sur le problème de Dirichlet.
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TY - JOUR AU - Brelot, Marcel TI - Étude des fonctions sous-harmoniques au voisinage d'un point singulier JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1949 SP - 121 EP - 156 VL - 1 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.11/ DO - 10.5802/aif.11 LA - fr ID - AIF_1949__1__121_0 ER -
Brelot, Marcel. Étude des fonctions sous-harmoniques au voisinage d'un point singulier. Annales de l'Institut Fourier, Volume 1 (1949), pp. 121-156. doi : 10.5802/aif.11. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.11/
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