Two problems of Calderón-Zygmund theory on product-spaces

Journé, Jean-Lin

Annales de l'Institut Fourier, Tome 38 (1988) no. 1, pp. 111-132.

R. Fefferman a montré que sur un espace-produit à deux facteurs un opérateur $T$ borné sur $L^2$ est également borné de $L^{\infty }$ dans BMO du produit si l’oscillation moyenne sur un rectangle $R$ de l’image d’une fonction bornée supportée en dehors d’un multiple $R^{\prime }$ de $R$ est dominée par $C|R{|}^s|R^{\prime }{|}^{-s}$ pour un $s>0$. Nous montrons ici que ce résultat n’est plus vrai en général pour un produit $E$ de trois facteurs ou plus mais s’étend à ce cas lorsque l’opérateur $T$ est un opérateur de convolution et $s>s_0\left(E\right)$. Également nous montrons que les bicommutateurs de Calderón-Coifman, obtenus à partir des commutateurs de Calderón par produit tensoriel multilinéaire, sont bornés sur $L^2$ avec une croissance de norme polynomiale.

R. Fefferman has shown that, on a product-space with two factors, an operator T bounded on $L^2$ maps $L^{\infty }$ into BMO of the product if the mean oscillation on a rectangle R of the image of a bounded function supported out of a multiple R’ of R, is dominated by $C\left|R{|}^s\right|R{|}^{-s}$, for some $s>0$. We show that this result does not extend in general to the case where E has three or more factors but remains true in this case if in addition T is a convolution operator, provided $s>s_0\left(E\right)$. We also show that the Calderon-Coifman bicommutators, obtained from the Calderon commutators by multilinear tensor product, are bounded on $L^2$ with norms growing polynomially.

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