Groupe de Picard des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur 2 ()
Annales de l'Institut Fourier, Tome 38 (1988) no. 3, pp. 105-168.

Le sujet de cet article est le groupe de Picard de la variété de modules M(r,c 1 ,c 2 ) des faisceaux algébriques semi-stables de rang r et de classes de Chern c 1 ,c 2 sur P 2 (C). Le premier résultat est que M(r,c 1 ,c 2 ) est localement factorielle, ce qui permet d’identifier Pic(M(r,c 1 ,c 2 )) et le groupe des classes d’équivalence linéaire des diviseurs de Weil de M(r,c 1 ,c 2 )). Il existe une unique application δ:QQ telle que dim(M(r,c 1 ,c 2 ))>0 si et seulement si (c 2 -(r-1)c 1 2 /2r)/r>δ(c 1 /r). Si on a égalité, Pic(M(r,c 1 ,c 2 )) est isomorphe à Z, et si l’inégalité est stricte, Pic(M(r,c 1 ,c 2 )) est isomorphe à Z 2 . On donne ensuite une description de Pic(M(r,c 1 ,c 2 )) faisant intervenir un sous-groupe du groupe de Grothendieck K(P 2 ) de P 2 . On peut enfin calculer le fibré canonique ω M de M(c 1 ,c 2 ).

The subject of this paper is the Picard group of the moduli variety M(r,c 1 ,c 2 ) of semi-stable algebraic sheaves on P 2 (C), of rankr and Chern classes c 1 ,c 2 . The first result is that if M(r,c 1 ,c 2 ) is locally factorial, so Pic(M(r,c 1 ,c 2 )) is isomorphic to the group of linear equivalence classes of Weil divisors of M(r,c 1 ,c 2 ). There is a unique map δ:QQ such that dim(M(r,c 1 ,c 2 ))>0 if and only if (c 2 -(r-1)c 1 2 /2r)/rδ(c 1 /r). Then if one has equality, Pic (M(r,c 1 ,c 2 )) is isomorphic to Z, and if the inequality is strict, Pic(M(r,c 1 ,c 2 )) is isomorphic to Z 2 . A description of Pic (M(r,c 1 ,c 2 )) is given, using a subgroup of the Grothendieck group K(P 2 ) of P 2 . It is then possible to compute the canonical bundle ω M of M(r,c 1 ,c 2 ).

@article{AIF_1988__38_3_105_0,
     author = {Drezet, Jean-Marc},
     title = {Groupe de {Picard} des vari\'et\'es de modules de faisceaux semi-stables sur ${\mathbb {P}}_2({\mathbb {C}})$},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {105--168},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {38},
     number = {3},
     year = {1988},
     doi = {10.5802/aif.1143},
     mrnumber = {89m:14007},
     zbl = {0616.14006},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1143/}
}
TY  - JOUR
AU  - Drezet, Jean-Marc
TI  - Groupe de Picard des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur ${\mathbb {P}}_2({\mathbb {C}})$
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1988
SP  - 105
EP  - 168
VL  - 38
IS  - 3
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1143/
DO  - 10.5802/aif.1143
LA  - fr
ID  - AIF_1988__38_3_105_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Drezet, Jean-Marc
%T Groupe de Picard des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur ${\mathbb {P}}_2({\mathbb {C}})$
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1988
%P 105-168
%V 38
%N 3
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1143/
%R 10.5802/aif.1143
%G fr
%F AIF_1988__38_3_105_0
Drezet, Jean-Marc. Groupe de Picard des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur ${\mathbb {P}}_2({\mathbb {C}})$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 38 (1988) no. 3, pp. 105-168. doi : 10.5802/aif.1143. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1143/

[1] W. Barth, Moduli of vector bundles on the projective plane, Invent. Math., 42 (1977), 63-91. | MR | Zbl

[2] A.A. Beilinson, Coherent sheaves on Pn and problems of linear algebra, Funkt. Anal. i Ego Pril., vol. 12, No 3 (1978), 68-69. | Zbl

[3] A. Borel, J.P. Serre, Le théorème de Riemann-Roch, Bull. Soc. Math. de France, 86 (1858), 97-136. | Numdam | Zbl

[4] E. Brieskorn, Uber holomorphe Pn-Bündel über P1, Math, Ann., 157 (1967), 343-357. | MR | Zbl

[5] J. Brun, A. Hirschowitz, Droites de saut des fibrés de rang élevé sur P2, Math, Zeits., 181 (1982), 171-178. | MR | Zbl

[6] J.M. Drezet, Fibrés exceptionnels et variétés de modules de faisceaux semi-stables sur P2 (C), Preprint, 1985.

[7] J.M. Drezet, J. Le Potier, Fibrés stables et fibrés exceptionnels sur P2, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 18 (1985), 193-244. | Numdam | MR | Zbl

[8] G. Ellingsrud, Sur l'irréductibilité du module des fibrés stables sur P2, Math. Zeits., 182 (1983), 189-192. | MR | Zbl

[9] G. Ellingsrud, S.A. Strømme, The Picard group of the moduli for stable rank 2 vector bundles on P2 with odd Chern class, Preprint, Oslo, 1979.

[10] W. Fulton, Intersection theory, Springer Verlag, 1984. | MR | Zbl

[11] D. Gieseker, On the moduli of vector bundles on an algebraic surface, Ann. of Math., 106 (1977), 45-60. | MR | Zbl

[12] A. Grothendieck, Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann, Amer. J. of Math., 79 (1957), 121-138. | MR | Zbl

[13] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Grad. Texts in Math., 52, Springer-Verlag, 1977. | MR | Zbl

[14] A. Hirschowitz, Rank techniques and jump stratifications. Actes du congrès “Vector Bundles on Algebraic Varieties” Bombay, 1984. | Zbl

[15] G. Horrocks, Vector bundles on the punctured spectrum of a local ring, Proc. London Math. Soc., 14 (1964), 689-713. | MR | Zbl

[16] K. Hulek, On the classification of stable rank-r vector bundles over the projective plane. In : Vector bundles and differential equations (A. Hirschowitz ed.). Proceedings (Nice 1979), Progress in Math., 7, Birkhäuser, 1980. | Zbl

[17] J. Le Potier, Sur le groupe de Picard de l'espace de modules de fibrés stables sur P2, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 14 (1981), 141-155. | Numdam | MR | Zbl

[18] J. Le Potier, Fibrés stables de rang 2 sur P2(C), Math. Ann., 241 (1979), 217-256. | MR | Zbl

[19] M. Maruyama, Moduli of stable sheaves II, J. Math. Kyoto Univ., 18 (1978), 557-614. | MR | Zbl

[20] H. Matsumura, Commutative algebra, W.A. Benjamin Co., New York, 1980. | MR | Zbl

[21] D. Mumford, J. Fogarty, Geometric Invariant Theory, Erg. der Math. und ihre Grenzg., 34, Springer-Verlag, 1982. | MR | Zbl

[22] P.E. Newstead, Introduction to moduli problems and orbit spaces, Tata Inst., Lect. Notes, 51, Springer-Verlag, 1978. | MR | Zbl

[23] P.E. Newstead, Rationality of moduli spaces of vector bundles, Math. Ann., 215 (1975), 251-268. | MR | Zbl

[24] C.S. Seshadri, Mumford's conjecture for GL(2) and applications, Alg. Geom., Bombay Coll., (1968-1969), 347-371. | MR | Zbl

[25] S.A. Strømme, Ample divisors on fine moduli spaces on the projective plane, Math. Zeits., 187 (1984), 405-423. | MR | Zbl

Cité par Sources :