Sur la conjecture de Chudnovsky-Demailly et les singularités des hypersurfaces algébriques

Azhari, Abdelhak

Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 1, pp. 103-116.

Soit $S$ une partie finie de ${\mathbf{P}}^n$, $t$ un entier positif et ${\omega }_t\left(S\right)$ le plus petit degré des hypersurfaces de ${\mathbf{P}}^n$ ayant en chaque point de S une singularité de multiplicité $\ge t$. Un théorème d’existence de J.-P. Demailly concernant le prolongement des fonctions analytiques définies au voisinage d’une sous-variété linéaire de ${\mathbf{C}}^n$ nous permet d’obtenir des minorations fines de ${\omega }_t\left(S\right)/t$ pour tout $t$. En particulier, nous montrons

$$({\omega }_{t_1}\left(S\right)+n-a-1)/(t_1+n-1)\le {\omega }_t\left(S\right)/t$$

où $a$ est la dimension de l’ensemble des points singuliers non à croisements normaux du diviseur de P lorsque deg P$={\omega }_t\left(S\right)$. Ceci redonne le résultat de H. Esnault et E. Viehweg par une méthode analytique assez élémentaire et contribue à renforcer la vraisemblance de la conjecture de Chudnovsky-Demailly.

Let $S$ be a finite set in the complex projective space ${\mathbf{P}}^n$, and $t$ a posoitive integer and let ${\omega }_t\left(S\right)$ be the smallest degree of hypersurfaces in ${\mathbf{P}}^n$ having at each point of $S$ a singularity of multiplicity $\ge t$. Thanks to an existence theorem due to J.-P. Demailly, relative to the extension of analaytic functions defined on a neighbourhood of a linear subvariety of ${\mathbf{C}}^n$, we obtain fine lower bounds on ${\omega }_t\left(S\right)/t$ for every $t$. In particular we find:

$$({\omega }_{t_1}\left(S\right)+n-a-1)/(t_1+n-1)\le {\omega }_t\left(S\right)/t$$

in which $a$ is the dimension of the set of singular points of the divisor of $P$ with non normal crossings, when deg$P={\omega }_t\left(S\right)$. This gives an elementary analytic proof of H. Esnault and E. Viehweg’s result and gives substantial support to the Chudnovsky-Demailly conjecture.

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