On the classgroups of imaginary abelian fields

Solomon, David

Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 3, pp. 467-492.

Soit $p$ un nombre premier impair, soit $\chi$ un caractère impair de Dirichlet $p$-adique et soit $K$ l’extension cyclique imaginaire de $\mathbf{Q}$ associée à $\chi$. On définit une “$\chi$-partie” du $p$-sous-groupe de Sylow du groupe de classe de $K$ et on démontre un résultat établissant un lien entre sa $p$-divisibilité et celle du nombre de Bernoulli généralisé $B_{1,{\chi }^{-1}}$. On utilise les résultats de Mazur et Wiles de la Théorie d’Iwasawa sur $\mathbf{Q}$. Nous nous intéressons principalement au cas plus difficile où $p$ divise l’ordre de $\chi$. Dans cette situation le résultat est nouveau et confirme une conjecture de G. Gras.

Let $p$ be an odd prime, $\chi$ an odd, $p$-adic Dirichlet character and $K$ the cyclic imaginary extension of $\mathbf{Q}$ associated to $\chi$. We define a “$\chi$-part” of the Sylow $p$-subgroup of the class group of $K$ and prove a result relating its $p$-divisibility to that of the generalized Bernoulli number $B_{1,{\chi }^{-1}}$. This uses the results of Mazur and Wiles in Iwasawa theory over $\mathbf{Q}$. The more difficult case, in which $p$ divides the order of $\chi$ is our chief concern. In this case the result is new and confirms an earlier conjecture of G. Gras.

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[4] G. Gras, Etude d'invariants relatifs aux groupes des classes des corps abéliens, Astérisque, 41-42 (1977), 35-53. | Numdam | MR | Zbl

[5] R. Greenberg, On p-Adic L-functions and Cyclotomic Fields II, Nagoya Math. J., 67 (1977), 139-158. | MR | Zbl

[6] K. Iwasawa, Riemann-Hurwitz Formula and p-Adic Galois Representations for Number Fields, Tôhoku Math. J., 33 (1981), 263-288. | MR | Zbl

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[8] K. Rubin, Kolyvagin's System of Gauss Sums, Preprint. | Zbl

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