Sur un théorème de Dulac

Stolovitch, Laurent

Annales de l'Institut Fourier, Volume 44 (1994) no. 5, pp. 1397-1433.

We shall consider holomorphic vector fields of $({ℂ}^n,0)$ with a non zero diagonal linear part and which eigenvalues ${\lambda }_i\in ℂ$ satisfy to some resonnance’s relations all generated by one relation $(r,\lambda )=0$ for a non zero vector $r\in {\mathbb{N}}^n$. We shall show that such vector fields can be transformed, by a local holomorphic diffeomorphism near $0\in {ℂ}^n$, into a preliminary normal forms while exhibiting invariant varieties, if an hypothesis of diophantine small divisors is made. Our results generalize, to any dimension, those done by H. Dulac in dimension 2.

Nous considérons les champs de vecteurs analytiques de $({ℂ}^n,0)$ de partie linéaire diagonale non nulle et dont les valeurs propres ${\lambda }_i\in ℂ$ vérifient des relations de résonances toutes engendrées par une seule relation $(r,\lambda )=0$ pour un certain vecteur $r\in {\mathbb{N}}^n$ non nul. Nous montrons que, dans un système de coordonnées locales holomorphes au voisinages de $0\in {ℂ}^n$, de tels champs de vecteurs se “mettent" sous une forme normale partielle, tout en exhibant des variétés invariantes, si l’on fait une hypothèse de petits diviseurs diophantiens. Nos résultats généralisent, à une dimension quelconque, ceux en dimension 2 de H. Dulac.

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