Cohomologie des algèbres de Lie croisées et $K$-théorie de Milnor additive

Guin, Daniel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 1, pp. 93-118.

Dans cet article, nous définissons des modules de (co)-homologie ${ℌ}_0(𝔊,𝔄)$, ${ℌ}_1(𝔊,𝔄)$, ${ℌ}^{\circ }(𝔊$, $𝔄)$, ${ℌ}^1(𝔊,𝔄)$ où $𝔊$ et $𝔄$ sont des algèbres de Lie munies d’une structure supplémentaire (algèbres de Lie croisées), qui satisfont les propriétés usuelles des foncteurs cohomologiques. Si $A$ est une $k$-algèbre, nous utilisons ces modules d’homologie pour comparer le groupe d’homologie cyclique $H{C}_1\left(A\right)$ avec un analogue additif du groupe de $K$-théorie de Milnor $K_2^{\mathrm{Madd}}\left(A\right)$.

In this paper we define modules of (co)-homology ${ℌ}_0(𝔊,𝔄)$, ${ℌ}_1(𝔊,𝔄)$, ${ℌ}^{\circ }(𝔊,𝔄)$, ${ℌ}^1(𝔊,𝔄)$ where $𝔊$ and $𝔄$ are Lie algebras with an extra structure (crossed Lie algebras). This modules satisfy the usual properties of cohomological functors, in particular existence of an exact sequence associated to a short exact sequence of coefficients.

For a $k$-algebra $A$, equipped with the trivial Lie algebra structure, we use these homology modules to compare the cyclic homology groupe $H{C}_1\left(A\right)$ with an additive analogue of the Milnor’s group $K_2^{\mathrm{Madd}}\left(A\right)$.

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