Combinatoire des arbres planaires et arithmétique des courbes hyperelliptiques

Pakovitch, Fedor

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 2, pp. 323-351.

Le but de cet article est de proposer une nouvelle méthode pour des études dans le cadre de la théorie des “dessins d’enfants” de A. Grothendieck de certaines questions concernant l’action du groupe de Galois absolu sur l’ensemble des arbres planaires.

On définit l’application qui associe à chaque arbre planaire à $n$ arêtes, une courbe hyperelliptique avec un point de $n$-division. Cette construction permet d’établir un lien entre la théorie de la torsion des courbes hyperelliptiques et celle des “dessins d’enfants”. En particulier, en utilisant les résultats correspondants sur la torsion des courbes elliptiques, on obtient des bornes inférieures sur les degrés des corps des modules des arbres de certaines classes. D’autre part, la construction ci-dessus donne une suite intéressante d’exemples de diviseurs rationnels de torsion sur des courbes hyperelliptiques définies sur des corps de nombres.

The aim of this article is to propose a new method for the study of some questions related to the action of the absolute Galois group on the set of plane trees, in the context of the Grotendieck theory of “Dessins d’enfants”. Starting with a plane tree with $n$ edges, we construct a hyperelliptic curve with an $n$-division point. This enables us to establish a relation between the theory of “Dessins d’enfants” and the theory of torsion on hyperelliptic curves. In particular, using the results on torsion on elliptic curves we obtain the lower bounds on the degrees of the fields of moduli of some trees. On the other hand, we obtain the interesting series of examples of torsion on hyperelliptic curves.

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