Structure locale et globale des feuilletages de Rolle, un théorème de fibration

Chazal, Frédéric

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 2, pp. 553-592.

Un feuilletage $ℱ$ de codimension un sur une variété orientable $M$ est de Rolle s’il vérifie la propriété suivante : une courbe transverse à $ℱ$ coupe au plus une fois chaque feuille. Soit $Q$ une fonction tapissante sur $M$, i.e. propre et possédant un nombre fini de valeurs critiques. Nous montrons que si l’ensemble des singularités de la restriction de $Q$ aux feuilles de $F$ vérifie certaines propriétés de finitude, alors la restriction de $ℱ$ au complémentaire d’un nombre fini de feuilles possède une structure de produit. Ces propriétés de finitude sont, en particulier, vérifiées par les feuilletages analytiques de Rolle sur les variétés compactes. Nous étudions également la structure des feuilletages analytiques de Rolle au voisinage d’une singularité. Plus précisément, nous étudions l’existence d’une base de voisinage de cette singularité sur lesquels le type topologique du feuilletage induit est constant.

A codimension one foliation $ℱ$ on an orientable manifold $M$ is a Rolle foliation if it satisfies the following property: a curve transverse to $ℱ$ meets each leaf in at most one point. Let $Q$ be a carpet function on $M$, i.e. $Q$ is proper and has a finite number of critical values. We prove that if the set of singular points of the restrictions of $Q$ to the leaves of $ℱ$ satisfies some conditions of finiteness, then the restriction of $ℱ$ to the complement of a finite number of leaves has a product space structure. The analytic Rolle foliations on compact manifolds satisfy these conditions. We also study the local structure of analytic Rolle foliations in a neighbourhood of a singularity. More precisely, we study the existence of a basis of neighbourhoods of this singularity such that the topological type of the foliation induced on each of them is constant.

[BiMi1] E. Bierstone, P. Milman, The local geometry of analytic mappings, Universita di Pisa, ETS Editrice, Pisa, 1988.

[BiMi2] E. Bierstone, P. Milman, Semi-analytic and subanalytic sets, Publ. Math. I.H.E.S., 67 (1988), 5-42. | Numdam | MR | Zbl

[Cha1] F. Chazal, Un théorème de fibration pour les feuilletages algébriques de codimension 1 de ℝn, C.R. Acad. Sci. Paris, 321, Série I (1995), 327-330. | MR | Zbl

[Cha2] F. Chazal, Sur les feuilletages algébriques de Rolle, à paraître dans Comment. Math. Helv., 72, 3 (1997), 411-425. | MR | Zbl

[Dul] H. Dulac, Sur les cycles limites, Bull. Soc. Math. France, 51 (1923), 45-188. | JFM | Numdam

[Eca] J. Écalle, Introduction aux fonctions analysables et preuve de la conjecture de Dulac, Hermann, 1992.

[God] C. Godbillon, Feuilletages, études géométriques, Progress in Math., 98 (1991). | Zbl

[Hae1] A. Haefliger, Structures feuilletées et cohomologie à valeur dans un faisceau de groupoides, Thèse, Comment. Math. Helv., 32 (1958), 248-329. | MR | Zbl

[Hae2] A. Haefliger, Sur les feuilletages des variétés de dimension n par des feuilles fermées de dimension n-1, Colloque de topologie de Strasbourg (juillet 1955). | Zbl

[Il'] J.S. Il'Jashenko, Finiteness theorems for limit cycles, Transl. of Math. Monographs, Amer. Math. Soc., 94 (1991). | MR | Zbl

[Kap] W. Kaplan, Regular curve-families filling the plane, I, Duke Math. J., 7 (1940), 154-155; II, Duke Math. J., 8 (1941), 11-46. | JFM | Zbl

[Lio] J.-M. Lion, Étude des hypersurfaces plaffiennes, Thèse, Université de Bourgogne, 1991.

[LiRo] J.-M. Lion, J.-P. Rolin, Homologie des ensembles semi-pfaffiens, Ann. Inst. Fourier, 46-3 (1996), 723-741. | Numdam | MR | Zbl

[Loj] S. Lojasiewicz, Ensembles semi-analytiques, preprint I.H.E.S. (1965).

[Mal] B. Malgrange, Frobenius avec singularités I : codimension 1, Publi. Math. I.H.E.S., 46 (1976), 163-173. | Numdam | MR | Zbl

[Mil1] J. Milnor, Morse theory, Princeton University Press, 51 (1963). | Zbl

[Mil2] J. Milnor, Singular points of complex hypersurfaces, Ann. of Math. Studies, 61, Princeton University Press (1968). | MR | Zbl

[Mou] R. Moussu, Sur la finitude du nombre de cycles limites, Séminaire Bourbaki, 38e année, 655 (1985-1986). | Numdam | Zbl

[MoRo] R. Moussu, C.A. Roche, Théorèmes de finitude pour les variétés pfaffiennes, Ann. Inst. Fourier, 42-1 2 (1992), 393-420. | Numdam | MR | Zbl

[Nov] S.P. Novikov, Topology of foliations, Trans. Moscow Math. Soc., (1965), 268-304. | MR | Zbl

[Pal] C.F.B. Palmeira, Open manifolds foliated by planes, Annals of Math., 107 (1978), 109-131. | MR | Zbl

[Reel] G. Reeb, Variétés feuilletées, feuilles voisines, C.R. Acad. Sci. Paris, 224 (1947), 1613-1614. | MR | Zbl

[Ree2] G. Reeb, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées, Actualités Scientifiques et Industrielles, 1183, Hermann, Paris, 1952. | MR | Zbl

[Sei] A. Seidenberg, Reduction of singularities of the differential equation Ady = Bdx, Amer. J. Math., 90 (1968), 248-269. | MR | Zbl

[Tho] R. Thom, Généralisation de la théorie de Morse aux variétés feuilletées, Ann. Inst. Fourier, 14-1 (1964), 173-190. | Numdam | MR | Zbl