Non oscillating solutions of analytic gradient vector fields

Sanz, Fernando

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 4, pp. 1045-1067.

Soit $\gamma$ une trajectoire d’un champ de vecteurs analytique réel $\xi$ dans un voisinage de $0\in {ℝ}^3$ possédant un point limite $\omega \left(\gamma \right)=\left\{0\right\}$. On dit que $\gamma$ est non oscillante si, pour toute surface analytique $H$, ou bien $\gamma$ est contenue dans $H$ ou bien $\gamma$ ne coupe $H$ qu’en un nombre fini de points. Dans cet article, on établit une condition suffisante pour que $\gamma$ soit non oscillante en termes d’existence de “tangentes itérées généralisées”, c’est-à-dire, d’existence d’un point limite pour chaque transformée de $\gamma$ par des éclatements. Comme application, on démontre la propriété de non oscillation pour les trajectoires du champ de vecteurs gradient $\xi ={\nabla }_{g}f$ d’une fonction analytique $f$ d’ordre 2 en $0\in {ℝ}^3$, où $g$ est une métrique analytique

Let $\gamma$ be an integral solution of an analytic real vector field $\xi$ defined in a neighbordhood of $0\in {ℝ}^3$. Suppose that $\gamma$ has a single limit point, $\omega \left(\gamma \right)=\left\{0\right\}$. We say that $\gamma$ is non oscillating if, for any analytic surface $H$, either $\gamma$ is contained in $H$ or $\gamma$ cuts $H$ only finitely many times. In this paper we give a sufficient condition for $\gamma$ to be non oscillating. It is established in terms of the existence of “generalized iterated tangents”, i.e. the existence of a single limit point for any transform property for the solutions of a gradient vector field $\xi ={\nabla }_{g}f$ of an analytic function $f$ of order 2 at $0\in {ℝ}^3$, where $g$ is an analytic riemannian metric.

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