Croissance uniforme dans les groupes hyperboliques

Koubi, Malik

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 5, pp. 1441-1453.

On montre qu’un groupe hyperbolique $G$ non élémentaire est à croissance uniformément exponentielle, c’est-à-dire qu’il existe une constante $c_G$ strictement plus grande que 1, ne dépendant que du groupe $G$, telle que le taux de croissance exponentiel de $G$ relatif à n’importe quel système générateur est plus grand que $c_G$. On redémontre ce faisant qu’un groupe hyperbolique n’a qu’un nombre fini de classes de conjugaison de sous-groupes finis.

We prove that a non-elementary hyperbolic group has a uniformly exponential growth, that is there exists a constant $c_G$ strictly greater than 1, and depending only on $G$, such that the exponential growth rate of $G$ relatively to any generating set is greater than $C_G$. A new argument is given to re-prove the fact that a hyperbolic group has only finitely many conjugacy classes of finite subgroups.

[1] M. Coornaert, T. Delzant, A. Papadopoulos, Géométrie et théorie des groupes, Lecture Notes in Mathematics, 1441 (1990). | MR | Zbl

[2] T. Delzant, Sous-groupes à deux générateurs des groupes hyperboliques, Group Theory from a Geometrical Viewpoint, World Scientific, 1990, 177-189. | MR | Zbl

[3] T. Delzant, Sous-groupes distingués et quotients des groupes hyperboliques, Duke Math. J., 83, Vol. 3 (Juin 1996), 661-682. | MR | Zbl

[4] E. Ghys, P. De La Harpe, Sur les groupes hyperboliques d'après M. Gromov, Birkhäuser, Boston, 1990. | MR | Zbl

[5] R. Grigorchuk, On growth in group theory, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. I, II (Kyoto, 1990), 325-338. | MR | Zbl

[6] R. Grigorchuk, P. De La Harpe, On finitely generated groups and problems related to growth, Preprint, Genève, Novembre 1996.

[7] M. Gromov, Hyperbolic groups, in Essays in Group Theory, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 8, Springer-Verlag, New-York, 1987, 75-263. | MR | Zbl

[8] S.V. Ivanov, A.Y. Olshanskii, Hyperbolic groups and their quotients of bounded exponents, Trans. Amer. Math. Soc., 348, vol 6 (1996), 2091-2138. | MR | Zbl

[9] R.C. Lyndon, P.E. Schupp, Combinatorial group theory, Springer, 1977. | MR | Zbl

[10] F. Paulin, Points fixes des automorphismes de groupe hyperbolique, Annales de l'Institut Fourier, 39-3 (1989), 651-662. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[11] G. Robert, Invariants topologiques et géométriques reliés aux longueurs des géodésiques et aux sections harmoniques de fibrés, Thèse Institut Fourier (Grenoble), Octobre 1994.

[12] A. Sambusetti, Minimal entropy and simplicial volume, Preprint Institut Fourier (Grenoble), 1997. | Zbl

[13] H. Short, Notes on hyperbolic groups, Group Theory from a Geometrical Viewpoint, World Scientific, 1990, 3-63. | MR | Zbl