no. 4
A non-abelian tensor product of Leibniz algebra
Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 4, pp. 1149-1177.

Les algèbres de Leibniz sont une version non-commutative des algèbres de Lie. On introduit la notion d’algèbre de Leibniz (pré)croisée, qui est la généralisation simultanée de la notion de représentation et d’idéal bilatère d’algèbres de Leibniz. On construit l’algèbre de Leibniz des bidérivations sur les algèbres de Leibniz croisées et on définit le produit tensoriel non abélien d’algèbres de Leibniz. Ces deux constructions sont adjointes l’une de l’autre. On donne des caractérisations cohomologiques de ces nouveaux objets algébriques, ce qui nous permet de comparer l’homologie de Milnor-Hochschild d’une algèbre associative (pas nécessairement commutative) à son homologie de Hochschild classique.

Leibniz algebras are a non-commutative version of usual Lie algebras. We introduce a notion of (pre)crossed Leibniz algebra which is a simultaneous generalization of notions of representation and two-sided ideal of a Leibniz algebra. We construct the Leibniz algebra of biderivations on crossed Leibniz algebras and we define a non-abelian tensor product of Leibniz algebras. These two notions are adjoint to each other. A (co)homological characterization of these new algebraic objects enables us to compare the first order Milnor-type Hochschild homology of an associative algebra (non-necessarily commutative) to its classical Hochschild homology.

@article{AIF_1999__49_4_1149_0,
     author = {Gnedbaye, Allahtan Victor},
     title = {A non-abelian tensor product of {Leibniz} algebra},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1149--1177},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {49},
     number = {4},
     year = {1999},
     doi = {10.5802/aif.1712},
     mrnumber = {2000j:17004},
     zbl = {0936.17004},
     language = {en},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1712/}
}
TY  - JOUR
AU  - Gnedbaye, Allahtan Victor
TI  - A non-abelian tensor product of Leibniz algebra
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1999
SP  - 1149
EP  - 1177
VL  - 49
IS  - 4
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1712/
DO  - 10.5802/aif.1712
LA  - en
ID  - AIF_1999__49_4_1149_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Gnedbaye, Allahtan Victor
%T A non-abelian tensor product of Leibniz algebra
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1999
%P 1149-1177
%V 49
%N 4
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1712/
%R 10.5802/aif.1712
%G en
%F AIF_1999__49_4_1149_0
Gnedbaye, Allahtan Victor. A non-abelian tensor product of Leibniz algebra. Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 4, pp. 1149-1177. doi : 10.5802/aif.1712. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1712/

[1] J.-M. Casas & M. Ladra, Perfect crossed modules in Lie algebras, Comm. Alg., 23(5) (1995), 1625-1644. | MR | Zbl

[2] Ch. Cuvier, Algèbres de Leibnitz: définitions, propriétés, Ann. Ecole Norm. Sup., (4) 27 (1994), 1-45. | Numdam | Zbl

[3] G.J. Ellis, A non-abelian tensor product of Lie algebras, Glasgow Math. J., 33 (1991), 101-120. | MR | Zbl

[4] A.V. Gnedbaye, Third homology groups of universal central extensions of a Lie algebra, Afrika Matematika (to appear), Série 3, 10 (1998). | Zbl

[5] D. Guin, Cohomologie des algèbres de Lie croisées et K-théorie de Milnor additive, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 45-1 (1995), 93-118. | Numdam | MR | Zbl

[6] J.-L. Loday, Cyclic homology, Grund. math. Wiss., Springer-Verlag, 301, 1992. | MR | Zbl

[7] J.-L. Loday, Une version non commutative des algèbres de Lie: les algèbres de Leibniz, L'Enseignement Math., 39 (1993), 269-293. | MR | Zbl

[8] J.-L. Loday & T. Pirashvili, Universal enveloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology, Math. Annal., 296 (1993), 139-158. | MR | Zbl

Cité par Sources :