Sur le problème inverse du calcul des variations : existence de lagrangiens associés à un spray dans le cas isotrope

Grifone, Joseph; Muzsnay, Zoltán

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 4, pp. 1387-1421.

En utilisant la version de Spencer-Goldschmidt du théorème de Cartan-Kähler nous étudions les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un système d’équations différentielles ordinaires du second ordre soit le système d’Euler-Lagrange associé à un lagrangien régulier. Dans la thèse de Z. Muzsnay cette technique a été déjà appliquée pour donner une version moderne du papier classique de Douglas qui traite le cas de la dimension 2. Ici nous considérons le cas où la dimension est arbitraire, nous limitant cependant aux sprays que nous appelons isotropes : cela signifie que la courbure sectionnelle, que nous définissons pour un lagrangien quelconque (non nécessairement homogène), dépend uniquement d’un vecteur tangent et non pas du 2-plan contenant ce vecteur. En particulier, dans le cas homogène nous donnons les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une connexion provienne d’une structure finslérienne à courbure isotrope.

Using the Spencer-Goldschmidt version of the Cartan-Kähler theorem, we study necessary and sufficient conditions for the (local) existence of a regular Lagrangian associated with a real-analytic system of second order ordinary differential equations. In Muzsnay’s thesis this technique was applied to give a modern treatment of the 2-dimensional case, first studied in the classic paper of Douglas. In this paper we consider the case of arbitrary dimension but we restrict ourselves to isotropic systems. Here isotropic means that the sectional curvature, which we define for a general Lagrangian (not necessarily homogeneous), depends only on the tangent vector and is independent of the 2-plane containing the vector. In particular, in the homogeneous case, we characterize the connections which come from a Finsler structure with isotropic curvature.

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