Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation

Kolster, Manfred; Movahhedi, Abbas

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 1, pp. 35-65.

Soient $F$ un corps de nombres et $o_F$ l’anneau des entiers de $F$. Pour un nombre premier fixé $p$ et $i\ge 2$, les noyaux sauvages étales $W{K}_{2i-2}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\left(F\right)$ sont définis comme étant les noyaux de certaines applications de localisation des groupes de cohomologie étale de $\mathrm{spec}{o}_F[\frac{1}{p}]$ à coefficients dans le $i$-ème “tordu” de Tate de ${\mathbf{Z}}_p$. Ces groupes sont finis et coïncident, pour $i=2$, avec la partie $p$-primaire du noyau sauvage classique $W{K}_2\left(F\right)$. Ces noyaux sauvages $W{K}_{2i-2}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\left(F\right)$ jouent des rôles symétriques aux $p$-parties du groupe des classes de $F$. Pour le groupe des classes, la co-descente galoisienne dans une extension cyclique $L/F$ est décrite par la formule des classes ambiges donnée par la théorie des genres. Dans cette formule, le seul facteur qu’on maîtrise difficilement est l’indice normique $[U_F^{\prime }:U_F^{\prime }\cap N_{L/F}(L^{*}\left)\right]$ pour les $p$-unités $U_F^{\prime }$. Le but principal de cet article est l’étude de la co-descente galoisienne pour les noyaux sauvages : Étant donnée une extension cyclique $L/F$ de degré $p$ de groupe de Galois $G$, on montre que l’application de transfert $W{K}_{2i-2}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(L{)}_G\to W{K}_{2i-2}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\left(F\right)$ est surjective sauf dans un cas très particulier, puis on réalise son noyau comme le conoyau d’un certain cup-produit à valeurs dans un groupe de Brauer. La méthode permet également d’obtenir pour les noyaux sauvages une formule analogue à celle des classes ambiges où les $p$-unités $U_F^{\prime }$ sont remplacées par les groupes de $K$-théorie impairs. Lorsque $p$ est impair, cette formule permet de trouver toutes les $p$-extensions de $\mathbf{Q}$ pour lesquelles la $p$-partie du noyau sauvage classique est triviale. Pour $p\ge 5$, elles s’avèrent être celles qui sont contenues dans la ${\mathbf{Z}}_p$-extension cyclotomique de $\mathbf{Q}$.

Let $F$ be a number field with ring of integers $o_F$. For a fixed prime number $p$ and $i\ge 2$ the étale wild kernels $W{K}_{2i-2}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\left(F\right)$ are defined as kernels of certain localization maps on the $i$-fold twist of the $p$-adic étale cohomology groups of $\mathrm{spec}{o}_F[\frac{1}{p}]$. These groups are finite and coincide for $i=2$ with the $p$-part of the classical wild kernel $W{K}_2\left(F\right)$. They play a role similar to the $p$-part of the $p$-class group of $F$. For class groups, Galois co-descent in a cyclic extension $L/F$ is described by the ambiguous class formula given by genus theory. In this formula, the only factor which is not well mastered is the norm index $[U_F^{\prime }:U_F^{\prime }\cap N_{L/F}(L^{*}\left)\right]$ for the $p$-units $U_F^{\prime }$. The aim of this paper is the study of the Galois co-descent for wild kernels: Given a cyclic extension $L/F$ of degree $p$ with Galois group $G$, we show that the transfer map $W{K}_{2i-2}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(L{)}_G\to W{K}_{2i-2}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\left(F\right)$ is onto except in a very special case, then we determine its kernel as the cokernel of a certain cup-product with values in a Brauer group. This approach also yields a genus formula, analogous to the one for class groups, comparing the sizes of $W{K}_{2i-2}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(L{)}_G$ and $W{K}_{2i-2}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\left(F\right)$ where $p$-units $U_F^{\prime }$ are replaced by odd $K$-theory groups. When $p$ is odd, we illustrate the method by finding all Galois $p$-extensions of $\mathbf{Q}$, for which the $p$-part of the classical wild kernel is trivial. For $p\ge 5$,they turn out to be the layers of the cyclotomic ${\mathbf{Z}}_p$-extension of $\mathbf{Q}$.

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