On infinitesimal transformations preserving the curvature tensor field and its covariant differentials

Nomizu, K.; Yano, K.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 14 (1964) no. 2, pp. 227-236.

On dit qu’une transformation infinitésimale $X$ sur une variété riemannienne $M$ préserve la courbure fortement si l’on a $L_X({\nabla }^{m}R)=0$ pour tout $m\ge 0$, où $L_X$ est la dérivation de Lie et ${\nabla }^{m}R$ est le différentiel covariant d’ordre $m$ du champ de tenseurs de courbure $R$. On démontre que si $M$ est analytique, irréductible et de dimension $\ge 2$, alors une telle transformation infinitésimale $X$ respecte la connexion riemannienne (et donc la métrique elle-même si $M$ est d’ailleurs complète). On établit aussi une généralisation au cas réductible.

[1] V. W. Guillemin and S. Sternberg, An algebraic model of transitive differential geometry, Bull. Amer. Math. Soc., 70 (1964), 16-47. | MR | Zbl

[2] S. Kobayashi, A theorem on the affine transformation group of a Riemannian Manifold, Nagoya Math. J., 9 (1955), 39-41. | MR | Zbl

[3] S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. I, Interscience Tracts No. 15, John Wiley et Sons, New York, 1963. | Zbl