Imbalances in Arnoux-Rauzy sequences

Cassaigne, Julien; Ferenczi, Sébastien; Zamboni, Luca Q.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 4, pp. 1265-1276.

Dans un article de 1982, Rauzy a montré que le système $(X,T)$ engendré par le morphisme $1\mapsto 12$, $2\mapsto 13$, $3\mapsto 1$ est un codage naturel d’une rotation sur le tore à deux dimensions ${𝕋}_2$, c’est-à-dire est mesurablement conjugué à un échange de trois domaines fractals sur un sous-ensemble compact de ${ℝ}^2$, chaque domaine étant codé par une lettre et translaté par le même vecteur modulo un réseau. Plus généralement, il était conjecturé que chaque suite de complexité $2n+1$ satisfaisant une condition combinatoire dite condition $☆$ d’Arnoux et Rauzy est un codage naturel d’une rotation de ${𝕋}_2$. Dans cette note nous donnons un contre-exemple à cette conjecture. Nous construisons d’abord une suite d’Arnoux-Rauzy ${\omega }_{*}$ qui est déséquilibrée dans le sens suivant : pour tout $N>0$ il existe deux facteurs de ${\omega }_{*}$ de même longueur dont l’un contient au moins $N$ apparitions d’une même lettre de plus que l’autre. Nous invoquons ensuite un résultat de Rauzy sur les ensembles à restes bornés pour établir l’existence d’une suite d’Arnoux-Rauzy qui n’est pas le codage naturel d’une rotation de ${𝕋}_2$.

In a 1982 paper Rauzy showed that the subshift $(X,T)$ generated by the morphism $1\mapsto 12$, $2\mapsto 13$ and $3\mapsto 1$ is a natural coding of a rotation on the two-dimensional torus ${𝕋}^2$, i.e., is measure-theoretically conjugate to an exchange of three fractal domains on a compact set in ${ℝ}^2,$ each domain being translated by the same vector modulo a lattice. It was believed more generally that each sequence of block complexity $2n+1$ satisfying a combinatorial criterion known as the $☆$ condition of Arnoux and Rauzy codes the orbit of a point under a rotation on ${𝕋}^2$. In this note we exhibit a counterexample to this conjecture. We first build an Arnoux-Rauzy sequence ${\omega }_{*}$ which is unbalanced in the following sense: for each $N>0$ there exist two factors of ${\omega }_{*}$ of equal length, with one having at least $N$ more occurrences of a given letter than the other. We then invoke a result due to Rauzy on bounded remainder sets to establish the existence of an Arnoux-Rauzy sequence which is not a natural coding of a rotation on ${𝕋}^2$.

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