Sur certaines équations fonctionnelles arithmétiques

Bretèche, Régis De La; Tenenbaum, Gérald

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 5, pp. 1445-1505.

Soit $p_k$ le $k$-ième nombre premier. Une fonction arithmétique complètement additive est définie sur ${\mathbb{N}}^{*}$ par la donnée des $f\left(p_k\right)$ et la formule $f\left(n\right)={\sum }_{k\ge 1}f(p_k)v_{p_k}\left(n\right)$ $(n\ge 1)$, où $v_p$ désigne la valuation $p$-adique. Nous étudions une classe $ℰ$ de fonctions complètement additives caractérisées par une équation fonctionnelle approchée liant $f\left(p_k\right)$ à $f\left(k\right)$. Le prototype des éléments de $ℰ$, dont la fonction logarithme est un élément maximal, est la fonction de Gutman–Ivić–Matula, définie par la relation

$$f\left(p_k\right)=1+f\left(k\right)(k\ge 1).$$

Cette fonction, qui possède une interprétation simple en termes de graphes orientés, trouve son origine dans un problème de modélisation en chimie organique. La loi de répartition empirique de l’ensemble des valeurs d’un élément de $ℰ$ vérifie structurellement des équations fonctionnelles spécifiques. Nous explicitons celles qui sont relatives aux moments et à la transformée de Fourier-Stieltjes, et nous développons une méthode itérative générale, susceptible d’applications hors de ce contexte, pour approcher les solutions de telles équations. Nous montrons ainsi, par exemple, qu’il existe deux constantes positives $C$ et $D$ telle que $\left\{f\right(n)-Clogn\}/\sqrt{Dlogn}$ possède une loi de répartition limite gaussienne et nous fournissons une évaluation effective de la vitesse de convergence.

Let $p_k$ denote the $k$th prime number. A completely additive arithmetical function is defined on ${\mathbb{N}}^{*}$ by the values $f\left(p_k\right)$ and the formula $f\left(n\right)={\sum }_{k\ge 1}f(p_k)v_{p_k}\left(n\right)$ $(n\ge 1)$, where $v_p$ stands for the $p$-adic valuation. We study a class $ℰ$ of completely additive functions characterised by an approximate functional equation linking $f\left(p_k\right)$ to $f\left(k\right)$. The logarithm is a maximal element of $ℰ$, but a typical element is the Gutman–Ivić–Matula function, defined by the formula

$$f\left(p_k\right)=1+f\left(k\right)(k\ge 1).$$

This function has a simple interpretation in terms of oriented graphs and originates from a modelling problem in organic chemistry. The empirical distribution law of the set of values of an element of $ℰ$ structurally satisfies specific functional equations. We make explicit those related to moments and Fourier-Stieltjes transforms, and we develop a general iterative procedure, capable of applications outside this particular context, for approximating the solutions to such equations. We thus show, for example, that there exist two positive constants $C$ and $D$ such that $\left\{f\right(n)-Clogn\}/\sqrt{Dlogn}$ has Gaussian limit law and we provide an effective estimate for the speed of convergence.

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