Iterates and the boundary behavior of the Berezin transform
[Itérations et comportement à la frontière de la transformation de Berezin]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 4, pp. 1101-1133.

Soit μ une mesure sur un domaine Ω de n tel que l’espace de Bergman des fonctions holomorphes dans L 2 (Ω,μ) possède un noyau reproduisant K(x,y) et que K(x,x)>0,xΩ. La transformation de Berezin associée à μ est l’opérateur intégral

Bf(y)=K(y,y) -1 Ω f(x)|K(x,y)| 2 dμ(x).
Le nombre Bf(y) peut être interprété comme une valeur moyenne de f au voisinage de y, et les fonctions satisfaisant à Bf=f comme des fonctions ayant une certaine propriété de moyenne. Dans cet article nous étudions le comportement de Bf à la frontière, l’existence de fonctions f satisfaisant à Bf=f et prenant une valeur au bord donnée, et la convergence des itérations B k f, k. Les meilleurs résultats sont obtenus pour des domaines à frontières lisses strictement pseudo-convexes Ω munis d’une mesure μ comme ci-dessus, et pour des domaines bornés symétriques Ω et μ l’une des mesures standard invariantes par rotation. Nous étudions également les opérateurs de convolution B μ f=f*μ sur un domaine borné symétrique Ω=G/K muni d’une mesure de probabilité absolument continue K- invariante μ, et le comportement des symétries géodésiques φ a de Ω lorsque a tend vers la frontière.

Let μ be a measure on a domain Ω in n such that the Bergman space of holomorphic functions in L 2 (Ω,μ) possesses a reproducing kernel K(x,y) and K(x,x)>0 xΩ. The Berezin transform associated to μ is the integral operator

Bf(y)=K(y,y) -1 Ω f(x)|K(x,y)| 2 dμ(x).
The number Bf(y) can be interpreted as a certain mean value of f around y, and functions satisfying Bf=f as functions having a certain mean-value property. In this paper we investigate the boundary behavior of Bf, the existence of functions f satisfying Bf=f and having prescribed boundary values, and the convergence of the iterates B k f, k. The best results are obtained for smoothly bounded strictly pseudoconvex domains Ω with any measure μ as above, and for bounded symmetric domains Ω and μ one of the standard rotation-invariant measures on them. We also carry out similar investigation for convolution operators B μ f=f*μ on a bounded symmetric domain Ω=G/K with a K-invariant absolutely continuous probability measure μ, and study the behavior of the geodesic symmetries φ a of Ω as a tends to the boundary.

DOI : 10.5802/aif.1847
Classification : 47B38, 32M15, 46E22, 60J05
Keywords: Berezin transform, geodesic symmetry, Cartan domain, stochastic operator
Mot clés : transformation de Berezin, symétrie géodésique, domaine de Cartan, opérateur stochastique
Arazy, Jonathan 1 ; Engliš, Miroslav 2

1 University of Haifa, Department of Mathematics, Haifa 31905 (Israël)
2 Academy of Sciences, Mathematics Institute, Ztiná 25, 11567 Prague 1 (République Thèque)
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Arazy, Jonathan; Engliš, Miroslav. Iterates and the boundary behavior of the Berezin transform. Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 4, pp. 1101-1133. doi : 10.5802/aif.1847. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1847/

[AL] S. Axler; J. Lech Fixed points of the Berezin transform on multiply connected domains (1997) (Preprint)

[Ar] J. Arazy; R.E. Curto, R.G. Douglas A survey of invariant Hilbert spaces of analytic functions on bounded symmetric domains, Multivariable operator theory (Contemporary Mathematics), Volume vol. 185 (1995), pp. 7-65 | Zbl

[AZ] J. Arazy; G. Zhang Invariant mean value and harmonicity in Cartan and Siegel domains, Interaction between functional analysis, harmonic analysis, and probability (Columbia, MO, 1994) (Lecture Notes in Pure and Appl. Math.), Volume vol. 175 (1996), pp. 19-40 | Zbl

[FK] J. Faraut; A. Korányi Function spaces and reproducing kernels on bounded symmetric domains, J. Funct. Anal., Volume 88 (1990), pp. 64-89 | DOI | MR | Zbl

[Fü] H. Fürstenberg Poisson formula for semisimple Lie groups, Ann. Math., Volume 77 (1963), pp. 335-386 | DOI | MR | Zbl

[Ga] T.W. Gamelin Uniform algebras, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1969 | MR | Zbl

[Gd] R. Godement Une généralisation des représentations de la moyenne pour les fonctions harmoniques, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 234 (1952), pp. 2137-2139 | MR | Zbl

[Go] G.M. Goluzin Geometric theory of functions of a complex variable, Nauka, Moscou, 1966 | MR | Zbl

[He] S. Helgason Differential geometry and symmetric spaces, Academic Press, New York, 1962 | MR | Zbl

[Kr] S.G. Krantz Function theory of several complex variables, Wadsworth \& Brooks/Cole, Pacific Grove, 1992 | MR | Zbl

[KS] W. Kaup; J. Sauter Boundary structure of bounded symmetric domains, Manuscripta Math., Volume 101 (2000), pp. 351-360 | DOI | MR | Zbl

[Le] J. Lee Properties of the Berezin transform of bounded functions, Bull. Austral. Math. Soc., Volume 59 (1999), pp. 21-31 | DOI | MR | Zbl

[Lo] O. Loos Bounded symmetric domains and Jordan pairs (1977) (University of California, Irvine)

[Zh] K. Zhu A limit property of the Berezin transform (1999) (Preprint)

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