Spectral shift and multiplicity of the first eigenvalue of the magnetic Schrödinger operator in two dimensions

Erdős, László

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 6, pp. 1833-1874.

On démontre que la première valeur propre de l’opérateur de Schrödinger avec champ magnétique sur un fibré en droites au-dessus d’une surface riemannienne compacte $M$ est majorée par la norme $L^1$ du champ magnétique $B$. On en déduit une borne analogue pour la multiplicité de l’état fondamental. Un exemple démontre que cette multiplicité peut être comparable avec ${\int }_M\left|B\right|$ même dans le cas du fibré trivial.

We show that the lowest eigenvalue of the magnetic Schrödinger operator on a line bundle over a compact Riemann surface $M$ is bounded by the $L^1$-norm of the magnetic field $B$. This implies a similar bound on the multiplicity of the ground state. An example shows that this degeneracy can indeed be comparable with ${\int }_M\left|B\right|$ even in case of the trivial bundle.

Classification : 35P15, 58J35, 81Q10
Keywords: magnetic laplacian, multiplicity of the ground state, Riemann surface
Mot clés : laplacien magnétique, multiplicité de l'état fondamental, surface riemannienne

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