Traces and quasi-traces on the Boutet de Monvel algebra
Annales de l'Institut Fourier, Volume 54 (2004) no. 5, pp. 1641-1696.

We construct an analogue of Kontsevich and Vishik’s canonical trace for pseudodifferential boundary value problems in the Boutet de Monvel calculus on compact manifolds with boundary. For an operator A in the calculus (of class zero), and an auxiliary operator B, formed of the Dirichlet realization of a strongly elliptic second-order differential operator and an elliptic operator on the boundary, we consider the coefficient C 0 (A,B) of (-λ) -N in the asymptotic expansion of the resolvent trace Tr (A(B-λ) -N ) (with N large) in powers and log-powers of λ. This coefficient identifies with the zero-power coefficient in the Laurent series for the zeta function Tr (AB -s ) at s=0, when B is invertible. We show that C 0 (A,B) is in general a quasi-trace, in the sense that it vanishes on commutators [A,A ' ] modulo local terms, and has a specific value independent of the auxiliary operator, modulo local terms. The local “errors” vanish when A is a singular Green operator of noninteger order, or of integer order with a certain parity; then C 0 (A,B) is a trace of A. They do not in general vanish when the interior ps.d.o. part of A is nontrivial.

On construit une fonctionelle analogue à la trace canonique de Kontsevich et Vishik, pour les problèmes aux limites pseudodifférentielles appartenant au calcul de Boutet de Monvel, sur les variétés compactes à bord. Pour un opérateur A de ce calcul (et de classe zéro), avec un opérateur auxiliaire B formé de la réalisation de Dirichlet d’un opérateur différentiel fortement elliptique du second ordre et d’un opérateur elliptique sur le bord, nous considérons le coefficient C 0 (A,B) de (-λ) -N dans le développement asymptotique de la trace de la résolvante Tr (A(B-λ) -N ), avec N grand, dans les puissances et puissances logarithmiques de λ. Ce coefficient s’identifie au coefficient d’ordre zéro dans la série de Laurent pour la fonction zêta Tr (AB -s ) en s=0, quand B est inversible. On montre que C 0 (A,B) est en général une quasi-trace, en ce sens qu’elle s’annule sur les commutateurs [A,A ' ] modulo des termes locaux, ayant une valeur spécifique indépendante de l’opérateur auxiliaire, modulo des termes locaux. Les «erreurs» locales sont nulles quand A est un opérateur de Green singulier d’ordre non entier, ou d’ordre entier avec une certaine parité ; ainsi C 0 (A,B) est une trace sur A dans ces cas. Mais les «erreurs» ne sont en général pas nulles quand la partie intérieure o.ps.d. de A est non-triviale.

DOI: 10.5802/aif.2062
Classification: 58J42, 35S15
Grubb, Gerd 1; Schrohe, Elmar 

1 Copenhagen University, Mathematics Department, Universitetsparken 5, 2100 Copenhagen (Danemark), Institut für Mathematik, Universität Hannover, Welfengarten 1, 30167 Hannover (Allemagne)
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