A finiteness result for the compactly supported cohomology of rigid analytic varieties, II

Soit $h:X\to Y$ un morphisme séparé d’espaces adiques de type fini sur un corps non archimédien $k$ avec $Y$ affinoïde et de dimension $\le 1$. Soit $L$ un sous-ensemble constructible localement fermé dans $X$ et soit $g:(X,L)\to Y$ le morphisme d’espaces pseudo-adiques induit de $h$. Soit $A$ un anneau noethérien de torsion première à la caractéristique résiduelle de $k$ et soit $F$ un faisceau de $A$-modules localement constant de type fini sur ${(X,L)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$. Il y a une classe naturelle $𝒞\left(Y\right)$ des faisceaux de $A$-modules sur $Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ engendrée par des faisceaux de $A$-modules constructibles et des faisceaux de $A$-modules Zariski-constructibles. Nous montrons que le faisceau image directe à support propre $R^n{g}_{!}F$ est génériquement constructible, et si $h$ est localement algébrique, $R^n{g}_{!}F$ est un élément de $𝒞\left(Y\right)$. En conséquence, on obtient un théorème de comparaison entre cohomologie $\ell$-adique d’un schéma séparé de type fini sur $k$ et de l’espace adique associé.

Let $h:X\to Y$ be a separated morphism of adic spaces of finite type over a non-archimedean field $k$ with $Y$ affinoid and of dimension $\le 1$, let $L$ be a locally closed constructible subset of $X$ and let $g:(X,L)\to Y$ be the morphism of pseudo-adic spaces induced by $h$. Let $A$ be a noetherian torsion ring with torsion prime to the characteristic of the residue field of the valuation ring of $k$ and let $F$ be a constant $A$-module of finite type on ${(X,L)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$. There is a natural class $𝒞\left(Y\right)$ of $A$-modules on $Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ generated by the constructible $A$-modules and the Zariski-constructible $A$-modules. We show that, for every $n\in {\mathbb{N}}_0$, the higher direct image sheaf with proper support $R^n{g}_{!}F$ is generically constructible, and if $h$ is locally algebraic, $R^n{g}_{!}F$ is an element of $𝒞\left(Y\right)$. As an application we obtain a comparison isomorphism for the $\ell$-adic cohomology of a separated scheme of finite type over $k$ and its associated adic space.

[1] Berkovich, V. G. Etale cohomology for p-adic analytic spaces (1994) (handwritten notes of a talk at Toulouse)

[2] Bourbaki, N. Commutative Algebra, Hermann, Paris, 1972 | MR 360549

[3] Deligne, P.; Boutot, J.-F.; Illusie, L.; Verdier, J.-L. Cohomologie étale, Lecture Notes Math., 569, Springer, Berlin Heidelberg New York, 1977 | MR 463174

[4] Freitag, E.; Kiehl, R. Etale cohomology and the Weil Conjecture, Springer, Berlin Heidelberg New York, 1988 | MR 926276 | Zbl 0643.14012

[5] Grothendieck, A. Éléments de Géométrie Algébrique, Publ. Math., Volume 11 (1961), pp. 167 | Numdam

[6] Grothendieck, A. Revêtements Étales et Groupe Fondamental, Lecture Notes Math., 224, Springer, Berlin Heidelberg New York, 1971 | MR 354651

[7] Huber, R. Continuous valuations, Math. Z., Volume 212 (1993), pp. 445-477 | Article | MR 1207303 | Zbl 0788.13010

[8] Huber, R. A generalization of formal schemes and rigid analytic varieties, Math. Z., Volume 217 (1994), pp. 513-551 | Article | MR 1306024 | Zbl 0814.14024

[9] Huber, R. Etale Cohomology of Rigid Analytic Varieties and Adic Spaces, Vieweg, Braunschweig Wiesbaden, 1996 | MR 1734903 | Zbl 0868.14010

[10] Huber, R. A comparison theorem for $\ell$-adic cohomology, Compos. Math., Volume 112 (1998), pp. 217-235 | Article | MR 1626021 | Zbl 0930.14010

[11] Huber, R. A finiteness result for the compactly supported cohomology of rigid analytic varieties, J. Alg. Geom., Volume 7 (1998), pp. 313-357 | MR 1620114 | Zbl 1040.14008

[12] Huber, R.; Knebusch, M. On valuation spectra, Contemporary Mathematics, Volume 115 (1994), pp. 167-206 | MR 1260707 | Zbl 0799.13002

[13] Huber, Roland Bewertungsspektrum und rigide Geometrie, Regensburger Mathematische Schriften [Regensburg Mathematical Publications], 23, Universität Regensburg Fachbereich Mathematik, 1993 | MR 1255978 | Zbl 0806.13001

[14] Kiehl, R. Der Endlichkeitssatz für eigentliche Abbildungen in der nichtarchimedischen Funktionentheorie, Invent. math., Volume 2 (1967), pp. 191-214 | Article | MR 210948 | Zbl 0202.20101

[15] Köpf, Ursula Über eigentliche Familien algebraischer Varietäten über affinoiden Räumen, Schr. Math. Inst. Univ. Münster (2) (1974) no. Heft 7, pp. iv+72 | MR 422671

[16] Lütkebohmert, W. Riemann’s existence problem for a p-adic field, Invent. math., Volume 111 (1993), pp. 309-330 | Article | MR 1198812 | Zbl 0780.32005

[17] Lütkebohmert, W. The structure of proper p-adic groups, J. reine angew. Math., Volume 408 (1995), pp. 167-219 | Article | MR 1361790 | Zbl 0869.14009

[18] Ramero, L. Local monodromy in non-archimedean analytic geometry, Publ. Math., Volume 102 (2006), pp. 167-280 | Article | Numdam | MR 2217053 | Zbl 05017591

[19] Raynaud, M.; Gruson, L. Critères de platitude et de projectivité, Invent. math., Volume 13 (1971), pp. 1-89 | Article | MR 308104 | Zbl 0227.14010

[20] Serre, J.-P. Géométrie algébrique et géométrie analytique, Ann. Inst. Fourier, Volume 6 (1956), pp. 1-42 | Article | Numdam | MR 82175 | Zbl 0075.30401

[21] Strauch, M. Deformation spaces of one-dimensional formal modules and their cohomology (2006) (preprint)