Pénalisations de l’araignée brownienne

Najnudel, Joseph

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 4, pp. 1063-1093.

Dans cet article, nous pénalisons la loi d’une araignée brownienne ${\left(A_t\right)}_{t\ge 0}$ prenant ses valeurs dans un ensemble fini $E$ de demi-droites concourantes, avec un poids égal à $\frac{1}{Z_t}exp({\alpha }_{N_t}{X}_t+\gamma L_t)$, où $t$ est un réel positif, ${\left({\alpha }_k\right)}_{k\in E}$ une famille de réels indexés par $E$, $\gamma$ un paramètre réel, $X_t$ la distance de $A_t$ à l’origine, $N_t$ ($\in E$) la demi-droite sur laquelle se trouve $A_t$, $L_t$ le temps local de ${\left(X_s\right)}_{0\le s\le t}$ à l’origine, et $Z_t$ la constante de normalisation. Nous montrons que la famille des mesures de probabilité obtenue par ces pénalisations converge vers une probabilité limite quand $t$ tend vers l’infini, et nous étudions quelques propriétés de cette probabilité limite.

In this paper, we penalize a Walsh Brownian motion ${\left(A_t\right)}_{t\ge 0}$ (also called Brownian spider), which takes values in a finite set $E$ of intersecting rays, with a weight equal to $\frac{1}{Z_t}exp({\alpha }_{N_t}{X}_t+\gamma L_t)$, where $t$ is a positive real, ${\left({\alpha }_k\right)}_{k\in E}$ a family of real numbers indexed by $E$, $\gamma$ a real parameter, $X_t$ the distance from $A_t$ to the origin, $N_t$ ($\in E$) the ray on which $A_t$ is to be found, $X_t$ the local time of ${\left(A_s\right)}_{0\le s\le t}$ at the origin, and $Z_t$ the normalization constant. We show that the family of probability measures obtained by these penalizations converges to a limit probability measure as $t$ tends to infinity, and we study some properties of this limit probability measure.

Classification : 60B10, 60J65, 60G17, 60G44, 60J25, 60J55
Mot clés : pénalisation, temps local, araignée brownienne
Keywords: penalization, local time, Walsh Brownian motion

[1] Barlow, M.; Pitman, J.; Yor, M. On Walsh’s Brownian motions, Séminaire de Probabilités, XXIII (Lecture Notes in Math.), Volume 1372, Springer, Berlin, 1989, pp. 275-293 | Numdam | Zbl

[2] Barlow, M.; Pitman, J.; Yor, M. Une extension multidimensionnelle de la loi de l’arc sinus, Séminaire de Probabilités, XXIII (Lecture Notes in Math.), Volume 1372, Springer, Berlin, 1989, pp. 294-314 | Numdam | Zbl

[3] Cherny, A.-S.; Shiryaev, A.-N. Some Distributional Properties of a Brownian Motion with a Drift and an Extension of P. Lévy’s Theorem, Theory of Probab. and Its Applications, Volume 44 (2000) no. 2, pp. 412-418 | DOI | Zbl

[4] Hariya, Y.; Yor, M. Limiting distributions associated with moments of exponential Brownian functionals, Studia Sci. Math. Hungar., Volume 41 (2004) no. 2, pp. 193-242 | MR | Zbl

[5] Karatzas, I.; Shreve, S.-E. Brownian motion and stochastic calculus, Graduate Texts in Mathematics, 113, Springer-Verlag, New York, 1988 | MR | Zbl

[6] Pitman, J. The distribution of local times of a Brownian bridge, Séminaire de Probabilités, XXXIII (Lecture Notes in Math.), Volume 1709, Springer, Berlin, 1999, pp. 388-394 | Numdam | MR | Zbl

[7] Roynette, B.; Vallois, P.; Yor, M. Limiting laws associated with Brownian motion perturbated by normalized exponential weights, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 337 (2003) no. 10, pp. 667-673 | MR | Zbl

[8] Roynette, B.; Vallois, P.; Yor, M. Limiting laws for long Brownian bridges perturbed by their one-sided maximum. III, Period. Math. Hungar., Volume 50 (2005) no. 1-2, pp. 247-280 | DOI | MR | Zbl

[9] Roynette, B.; Vallois, P.; Yor, M. Limiting laws associated with Brownian motion perturbed by its maximum, minmum and local time. II, Studia Sci. Math. Hungar., Volume 43 (2006) no. 3, pp. 295-360 | MR | Zbl

[10] Roynette, B.; Vallois, P.; Yor, M. Pénalisations et quelques extensions du théorème de Pitman, relatives au mouvement brownien et à son maximum unilatère, Séminaire de Probabilités, XXXIX (Lecture Notes in Math.), Volume 1874, Springer, 2006, pp. 305-336 | MR | Zbl

[11] Roynette, B.; Vallois, P.; Yor, M. Some penalisations of the Wiener measure, Jap. Journal of Math., Volume 1 (2006), pp. 263-290 | DOI | MR | Zbl

[12] Walsh, J.-B. A diffusion with a discontinuous local time, Temps Locaux, Astérisque, Volume 52–53 (1978), pp. 37-45