Intersection de courbes et de sous-groupes et problèmes de minoration de hauteur dans les variétés abéliennes C.M.

Ratazzi, Nicolas

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 5, pp. 1575-1633.

Nous prouvons un cas particulier de la conjecture suivante e Zilber-Pink, conjecture généralisant celle de Manin-Mumford  : soit $X$ une courbe incluse dans une variété abélienne $A$ sur $\overline{\mathbb{Q}}$, qui n’est pas incluse dans une sous-variété de torsion  ; l’intersection de $X$ avec la réunion de tous les sous-groupes de codimension au moins 2 est finie. Nous démontrons ici le cas où $A$ est une puissance d’une variété abélienne C.M. simple. La preuve reprend la stratégie de Rémond (suivant Bombieri-Masser-Zannier) avec deux ingrédients supplémentaires  ; l’un des deux constituant le coeur de cet article  : une minoration de la hauteur de Néron-Tate des points sur les variétés abéliennes C.M., dans l’esprit du problème de Lehmer. Cette minoration est l’analogue du résultat similaire de Amoroso-David pour ${𝔾}_m^n$, et est une généralisation du théorème de David-Hindry sur le problème de Lehmer abélien.

We prove a special case of the following conjecture of Zilber-Pink generalising the Manin-Mumford conjecture : let $X$ be a curve inside an Abelian variety $A$ over $\overline{\mathbb{Q}}$, provided $X$ is not contained in a torsion subvariety, the intersection of $X$ with the union of all subgroup schemes of codimension at least $2$ is finite; we settle the case where $A$ is a power of a simple CM Abelian variety. The proof is based on the strategy of Rémond (following Bombieri-Masser-Zannier) with two new ingredients, one of them, being at the heart of this article : a lower bound for the Néron-Tate height of points on CM Abelian varieties in the spirit of Lehmer’s problem. This lower bound is an analog of the similar result of Amoroso-David on ${𝔾}_m^n$ and is a generalisation of the theorem of David-Hindry on the abelian Lehmer’s problem.

Classification : 11G50, 11G10, 11J95, 14K22, 11R20
Mot clés : hauteur normalisée, problème de Lehmer, conjecture de Manin-Mumford, variétés abéliennes, approximation diophantienne
Keywords: Normalised height, Lehmer problem, Manin-Mumford conjecture, Abelian varieties, diophantine approximation

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