Resolvent at low energy and Riesz transform for Schrödinger operators on asymptotically conic manifolds. II

Guillarmou, Colin; Hassell, Andrew

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 4, pp. 1553-1610.

Soit $M^{\circ }$ une variété complète de dimension $n\ge 3$ et $g$ une métrique asymptotiquement conique sur $M^{\circ }$, au sens où $M^{\circ }$ se compactifie en une variété à bord $M$ telle que $g$ soit une métrique de type “scattering” sur $M$. On étudie le noyau intégral de la résolvante ${(P+k^2)}^{-1}$ et la transformée de Riesz $T$ de l’opérateur $P={\Delta }_g+V$, où ${\Delta }_g$ est le laplacien positif associé à $g$ et $V$ un potentiel réel, lisse sur $M$ et s’annulant au bord.

Dans le premier article nous avons supposé que $0$ n’est ni résonance ni valeur propre pour $P$ et montré (i) que le noyau de la résolvante est conormal polyhomogène sur une version éclatée de $M^2\times [0,k_0]$, et (ii) que $T$ est borné sur $L^p\left(M^{\circ }\right)$ pour $1<p<n$, ce qui optimal sauf si $V\equiv 0$ ou bien $M^{\circ }$ a seulement un bout.

Dans le présent article, on effectue une analyse similaire tout en autorisant les cas où $0$ est résonance ou valeur propre. On montre là encore (sauf si $n=4$ et $0$ est résonance) que le noyau de la résolvante est polyhomogène sur le même espace, et on donne l’intervalle de $p$ (génériquement $n/(n-2)<p<n/3$) pour lequel $T$ est borné sur $L^p\left(M\right)$ quand $0$ est valeur propre.

Let $M^{\circ }$ be a complete noncompact manifold of dimension at least 3 and $g$ an asymptotically conic metric on $M^{\circ }$, in the sense that $M^{\circ }$ compactifies to a manifold with boundary $M$ so that $g$ becomes a scattering metric on $M$. We study the resolvent kernel ${(P+k^2)}^{-1}$ and Riesz transform $T$ of the operator $P={\Delta }_g+V$, where ${\Delta }_g$ is the positive Laplacian associated to $g$ and $V$ is a real potential function smooth on $M$ and vanishing at the boundary.

In our first paper we assumed that $P$ has neither zero modes nor a zero-resonance and showed (i) that the resolvent kernel is polyhomogeneous conormal on a blown up version of $M^2\times [0,k_0]$, and (ii) $T$ is bounded on $L^p\left(M^{\circ }\right)$ for $1<p<n$, which range is sharp unless $V\equiv 0$ and $M^{\circ }$ has only one end.

In the present paper, we perform a similar analysis allowing zero modes and zero-resonances. We show once again that (unless $n=4$ and there is a zero-resonance) the resolvent kernel is polyhomogeneous on the same space, and we find the precise range of $p$ (generically $n/(n-2)<p<n/3$) for which $T$ is bounded on $L^p\left(M\right)$ when zero modes are present.

Classification : 58J50, 42B20, 35J10
Keywords: Asymptotically conic manifold, scattering metric, resolvent kernel, low energy asymptotics, Riesz transform, zero-resonance
Mot clés : variété asymptotiquement conique, métrique scattering, noyau de la résolvante, asymptotique à basse énergie, transformée de Riesz, zéro-résonance

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