Cohomologie de dolbeault le long des feuilles de certains feuilletages complexes

El Kacimi Alaoui, Aziz; Slimène, Jihène

Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) no. 2, pp. 727-757.

La cohomologie de Dolbeault feuilletée mesure l’obstruction à résoudre le problème de Cauchy-Riemann le long des feuilles d’un feuilletage complexe. En utilisant des méthodes de cohomologie des groupes, nous calculons cette cohomologie pour deux classes de feuilletages : i) le feuilletage complexe affine de Reeb de dimension (complexe) 2 sur la variété de Hopf de dimension 5 ; ii) les feuilletages complexes sur le tore hyperbolique (fibration en tores de dimension n au-dessus d’un cercle et de monodromie une matrice hyperbolique à coefficients entiers diagonalisable et de valeurs propres réelles positives) donnés par des actions localement libres du groupe des transformations affines de la droite réelle.

Leafwise Dolbeault cohomology measures the obstruction to solve the Cauchy-Riemann problem along the leaves of a complex foliation. Using essentially methods of cohomology of groups, we compute this cohomology for two classes of complex foliations: i) the two dimensional complex affine Reeb foliations on the Hopf 5-manifold; ii) complex foliations on the hyperbolic torus (fibration over the circle whose fibre is the $n$-dimensional torus and its monodromy is a hyperbolic and diagonalizable matrix all of whose eigenvalues are real and positive) obtained by locally free actions of the real affine Lie group.

Classification : 32W05, 32G05, 32Q58, 58A30
Mot clés : feuilletage complexe, ${\mathcal{F}}$-holomorphie, cohomologie de Dolbeault feuilletée
Keywords: Complex foliation, $F$-holomorphy, Leafwise Dolbeault cohomology

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