Construction du cœur compact d’un arbre réel par substitution d’arbre

Jullian, Yann

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 3, pp. 851-904.

Étant donné un automorphisme $\sigma$ d’un groupe libre et un représentant topologique train-track de son inverse, on peut construire un arbre réel $T$ appelé arbre répulsif de $\sigma$. Le groupe libre agit sur $T$ par isométries. La dynamique engendrée par $\sigma$ peut être représentée par l’action du groupe libre restreinte à un sous-ensemble compact bien choisi du complété métrique de $T$. Cet article construit ce sous-ensemble sur une classe d’exemples en introduisant des opérations appelées substitutions d’arbre ; on mettra en évidence les relations entre la construction par substitution d’arbre et la dynamique symbolique sous-jacente.

Let $\sigma$ be an automorphism of the free group. Using a train-track representative of its inverse, one can construct the repelling tree $T$ of $\sigma$. The free group acts on $T$ by isometries. The dynamical system generated by $\sigma$ can be interpreted geometrically by the action of the free group restricted to a compact subset of the metric completion of $T$. This article gives a construction of this subset on a class of examples by introducing tree substitutions. We will insist on the connections between the construction using a tree substitution and the initial symbolic dynamical system.

Classification : 37B10, 20E08, 20F65
Mot clés : substitution d’arbre, dynamique symbolique, substitution, combinatoire des mots, automorphisme de groupe libre, arbre réel, système d’isométries
Keywords: tree substitution, symbolic dynamics, substitution, word combinatorics, free group automorphism, real tree, system of isometries

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