Decomposition of reductive regular Prehomogeneous Vector Spaces

Rubenthaler, Hubert

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 5, pp. 2183-2218.

Soit $(G,V)$ un espace préhomogène (en abrégé $PV$) régulier, où $G$ est un groupe algébrique réductif, défini sur $ℂ$. Si $V={\oplus }_{i=1}^n{V}_i$ est une décomposition de $V$ en représentations irréductibles, alors, en général, les espaces préhomogènes $(G,V_i)$ ne sont pas réguliers. Dans cet article nous introduisons la notion de $PV$ quasi-irréductible (en abrégé $Q$-irréducible), et nous montrons d’abord que pour les $PV$ complètement $Q$-réductibles, les composantes $Q$-isotypiques sont définies de manière intrinsèque, comme en théorie ordinaire des représentations. Nous montrons également que, dans un sens approprié, tout $PV$ régulier est une somme directe de $PV$ quasi-irréductibles. Finalement nous classifions les $PV$ de type parabolique qui sont $Q$-irréductibles.

Let $(G,V)$ be a regular prehomogeneous vector space (abbreviated to $PV$), where $G$ is a reductive algebraic group over $ℂ$. If $V={\oplus }_{i=1}^n{V}_i$ is a decomposition of $V$ into irreducible representations, then, in general, the PV’s $(G,V_i)$ are no longer regular. In this paper we introduce the notion of quasi-irreducible $PV$ (abbreviated to $Q$-irreducible), and show first that for completely $Q$-reducible $PV$’s, the $Q$-isotypic components are intrinsically defined, as in ordinary representation theory. We also show that, in an appropriate sense, any regular PV is a direct sum of $Q$-irreducible $PV$’s. Finally we classify the $Q$-irreducible PV’s of parabolic type.

Classification : 11S90, 20G05, 17B20
Keywords: reductive groups, prehomogeneous vector spaces, relative invariants, prehomogeneous vector spaces of parabolic type
Mot clés : Groupes réductifs, espaces préhomogènes, invariants relatifs, espaces préhomogènes de type parabolique

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