The Grunwald problem and approximation properties for homogeneous spaces

Demarche, Cyril; Lucchini Arteche, Giancarlo; Neftin, Danny

Annales de l'Institut Fourier, Tome 67 (2017) no. 3, pp. 1009-1033.

Pour un groupe $G$ et un corps de nombres $K$, le problème de Grunwald est le suivant : étant données des extensions des complétés de $K$ en un ensemble fini de places, peut-on les approcher de façon simultanée par une seule extension de $K$ de groupe de Galois $G$ ? Cela peut être interprété comme un cas particulier de la question plus générale de déterminer pour quels $K$-groupes $G$ la variété ${\mathrm{SL}}_n/G$ vérifie l’approximation faible. Nous démontrons qu’en dehors d’un ensemble explicite de mauvaises places, ces deux problèmes ont une réponse positive pour les groupes obtenus par des produits semi-directs itérés à noyau abélien. En outre, nous donnons des contre-exemples aux deux affirmations dans l’ensemble des mauvaises places. Ceux-ci sont par ailleurs les premiers exemples d’obstructions de Brauer–Manin transcendantes à l’approximation faible pour les espaces homogènes.

Given a group $G$ and a number field $K$, the Grunwald problem asks whether given field extensions of completions of $K$ at finitely many places can be approximated by a single field extension of $K$ with Galois group $G$. This can be viewed as the case of constant groups $G$ in the more general problem of determining for which $K$-groups $G$ the variety ${\mathrm{SL}}_n/G$ has weak approximation. We show that away from an explicit set of bad places both problems have an affirmative answer for iterated semidirect products with abelian kernel. Furthermore, we give counterexamples to both assertions at bad places. These turn out to be the first examples of transcendental Brauer–Manin obstructions to weak approximation for homogeneous spaces.

Classification : 11R34, 14M17, 14G05, 11E72
Keywords: Grunwald problem, Galois cohomology, homogeneous spaces, weak approximation, Brauer–Manin obstruction
Mot clés : Problème de Grunwald, cohomologie galoisienne, espaces homogènes, approximation faible, obstruction de Brauer–Manin

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