Existence of common zeros for commuting vector fields on three manifolds

Bonatti, Christian; Santiago, Bruno

Annales de l'Institut Fourier, Tome 67 (2017) no. 4, pp. 1741-1781.

En 1964, E. Lima a montré que des champs de vecteurs qui commutent sur une surface ont un zéro commun. Cette énoncé est trivial en dimension 3 puisque les caractéristiques d’Euler sont nulles dans ce cas. Cependant, C. Bonatti a proposé 1992 une version locale, en remplaçant la caractéristique d’Euler par l’indice de Poincaré–Hopf d’un champ de vecteurs $X$ dans une région $U$, qu’on denote par $Ind(X,U)$. Il a proposé la question suivante :

Étant donnés deux champs de vecteurs $X$ et $Y$ qui commutent et une région compacte $U$ sur lequel

$$Ind(X,U)\ne 0,$$

est-ce que $U$ contient un zéro commun de $X$ et $Y$ ?

Une réponse positive a été donnée dans le cas où $X$ et $Y$ sont réels analytiques, dans le même papier où la question au-dessus a été posée.

Dans cet article on montre existence de zéros communs pour les champs de vecteurs de classe $C^1$ qui commutent en dimension 3, pour toute région $U$ telle que l’indice $Ind(X,U)$ est non nul et en supposent en plus que le lieu de colinéarité entre $X$ et $Y$ est contenu dans une surface lisse. C’est une forte indication que le résultat pour les champs de vecteurs analytiques doit être vrai en régularité $C^1$.

In 1964, E. Lima proved that commuting vector fields on surfaces with non-zero Euler characteristic have common zeros. Such statement is empty in dimension 3, since all the Euler characteristics vanish. Nevertheless, C. Bonatti proposed in 1992 a local version, replacing the Euler characteristic by the Poincaré–Hopf index of a vector field $X$ in a region $U$, denoted by $Ind(X,U)$; he asked:

Given commuting vector fields $X,Y$ and a region $U$ where

$$Ind(X,U)\ne 0$$

does $U$ contain a common zero of $X$ and $Y$?

A positive answer was given in the case where $X$ and $Y$ are real analytic, in the same article where the above question was posed.

In this paper, we prove the existence of common zeros for commuting $C^1$ vector fields $X$, $Y$ on a $3$-manifold, in any region $U$ such that $Ind(X,U)\ne 0$, assuming that the set of collinearity of $X$ and $Y$ is contained in a smooth surface. This is a strong indication that the results for analytic vector fields should hold in the $C^1$ setting.

Classification : 37C25, 37C85, 57S05, 58C30
Keywords: commuting vector fields, fixed points, Poincaré–Hopf index
Mot clés : Champs de vecteurs commutants, points fixes, indice de Poincaré–Hopf

[1] Bonatti, Christian Un point fixe commun pour des difféomorphismes commutants de $S^2$, Ann. Math., Volume 129 (1989) no. 1, pp. 61-69 | DOI | MR

[2] Bonatti, Christian Difféomorphismes commutants des surfaces et stabilité des fibrations en tores, Topology, Volume 29 (1990) no. 1, pp. 101-126 | DOI | MR

[3] Bonatti, Christian Champs de vecteurs analytiques commutants, en dimension $3$ ou $4$: existence de zéros communs, Bol. Soc. Brasil. Mat., Volume 22 (1992) no. 2, pp. 215-247 | DOI | MR

[4] Boyce, William M. Commuting functions with no common fixed point, Trans. Am. Math. Soc., Volume 137 (1969), pp. 77-92 | DOI | MR

[5] Druck, Suely; Fang, Fuquan; Firmo, Sebatião Fixed points of discrete nilpotent group actions on $S^2$, Ann. Inst. Fourier, Volume 52 (2002) no. 4, pp. 1075-1091 http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2002__52_4_1075_0 | DOI | MR

[6] Firmo, Sebatião A note on commuting diffeomorphisms on surfaces, Nonlinearity, Volume 18 (2005) no. 4, pp. 1511-1526 | DOI | MR

[7] Franks, John; Handel, Michael; Parwani, Kamlesh Fixed points of abelian actions, J. Mod. Dyn., Volume 1 (2007) no. 3, pp. 443-464 | DOI | MR

[8] Franks, John; Handel, Michael; Parwani, Kamlesh Fixed points of abelian actions on $S^2$, Ergodic Theory Dyn. Syst., Volume 27 (2007) no. 5, pp. 1557-1581 | DOI | MR

[9] Handel, Michael Commuting homeomorphisms of $S^2$, Topology, Volume 31 (1992) no. 2, pp. 293-303 | DOI | MR

[10] Hirsch, Morris W. Common fixed points for two commuting surface homeomorphisms, Houston J. Math., Volume 29 (2003) no. 4, p. 961-981 (electronic) | MR

[11] Lima, Elon Lages Common singularities of commuting vector fields on $2$-manifolds, Comment. Math. Helv., Volume 39 (1964), pp. 97-110 | DOI | MR

[12] Lima, Elon Lages Commuting vector fields on $S^2$, Proc. Am. Math. Soc., Volume 15 (1964), pp. 138-141 | MR

[13] Molino, Pierre; Turiel, Francisco Javier Une observation sur les actions de ${ℝ}^p$ sur les variétés compactes de caractéristique non nulle, Comment. Math. Helv., Volume 61 (1986) no. 3, pp. 370-375 | DOI | MR

[14] Molino, Pierre; Turiel, Francisco Javier Dimension des orbites d’une action de ${\mathbf{R}}^p$ sur une variété compacte, Comment. Math. Helv., Volume 63 (1988) no. 2, pp. 253-258 | DOI | MR

[15] Turiel, Francisco Javier An elementary proof of a Lima’s theorem for surfaces, Publ. Mat., Volume 33 (1989) no. 3, pp. 555-557 | DOI | MR