Équations fonctionnelles du dilogarithme

Soudères, Ismael

Annales de l'Institut Fourier, Tome 68 (2018) no. 1, pp. 151-169.

Cet article démontre une « nouvelle » famille d’équations fonctionnelles $\left({\mathrm{Eq}}_n\right)$ ($n⩾4$) satisfaites par le dilogarithme de Rogers. Ces équations fonctionnelles reflètent la combinatoire des coordonnées diédrales des espaces de modules de courbes de genres $0$, ${ℳ}_{0,n}$. Pour $n=4$, on retrouve la relation de dualité et, pour $n=5$, la relation à $5$ termes du dilogarithme. Dans une seconde partie, on démontre que la famille $\left({\mathrm{Eq}}_n\right)$ se réduit à la relation à $5$ termes. C’est, à la connaissance de l’auteur, la première fois qu’une famille infinie d’équations fonctionnelles du dilogarithme ayant un nombre croissant de variables ($n-3$ pour $\left({\mathrm{Eq}}_n\right)$) se réduit à la relation à $5$ termes.

La réduction de cette famille d’équations à la relation de $5$-cycle explique les guillemets de la première phrase.

This paper proves a “new” family of functional equations $\left({\mathrm{Eq}}_n\right)$ for Rogers dilogarithm. These equations rely on the combinatorics of dihedral coordinates on moduli spaces of curves of genus $0$, ${ℳ}_{0,n}$. For $n=4$ we find back the duality relation while $n=5$ gives back the $5$ terms relation. It is then proved that the whole family reduces to the $5$ terms relation. In the author’s knownledge, it is the first time that an infinite family of functional equations for the dilogarithm with an increasing number of variables ($n-3$ for $\left({\mathrm{Eq}}_n\right)$) is reduced to the $5$ terms relation.

This reduction explains the quotation marks around “new” at the beginning of this abstract.

Classification : 39B50, 11G55, 39B22, 39B32, 33B30
Mot clés : Équation fonctionnelle, dilogarithme, espaces de modules, espaces de modules de courbes de genre 0, polylogarithmes
Keywords: functional equations, dilogarithm, polylogarithms, moduli spaces, modulispaces of curves of genus 0

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