Riemann–Hilbert correspondence for unit $F$-crystals on embeddable algebraic varieties

Ohkawa, Sachio

Annales de l'Institut Fourier, Tome 68 (2018) no. 3, pp. 1077-1120.

Soit $X$ un schéma séparé de type fini sur un corps parfait $k$ de caractéristique $p>0$ et qui admet une immersion vers un schéma propre et lisse sur l’anneau des vecteurs de Witt tronqué $W_n.$ Nous définissons la catégorie dérivée bornée des $F$-cristaux unités localement finiment engendrés sur $W_n$ avec Tor-dimension finie sur $X$, indépendemment de l’immersion. Nous provons ensuite que cette catégorie est anti-équivalente à la catégorie dérivée bornée des faisceaux constructibles étales de $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$-modules avec Tor-dimension finie. Nous étudions aussi les relations de $t$-structures sur ces catégories dérivées lorsque $n=1$.

For a separated scheme $X$ of finite type over a perfect field $k$ of characteristic $p>0$ which admits an immersion into a proper smooth scheme over the truncated Witt ring $W_n$, we define the bounded derived category of locally finitely generated unit $F$-crystals with finite Tor-dimension on $X$ over $W_n$, independently of the choice of the immersion. Then we prove the anti-equivalence of this category with the bounded derived category of constructible étale sheaves of $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$-modules with finite Tor-dimension. We also discuss the relationship of $t$-structures on these derived categories when $n=1$.

Classification : 14F30, 14F10
Keywords: $\mathcal{D}$-modules, Frobenius structure, étale sheaves
Mot clés : $\mathcal{D}$-modules, structure de Frobenius, faisceaux étales

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