Méthode de Mahler en caractéristique non nulle : un analogue du théorème de Ku. Nishioka
Annales de l'Institut Fourier, Tome 68 (2018) no. 6, pp. 2553-2580.

En 1990, Ku. Nishioka démontre un théorème fondamental pour la méthode de Mahler, qui constitue l’analogue du théorème de Siegel–Shidlovskii pour les fonctions mahlériennes. Le but de cet article est d’établir une version du théorème de Ku. Nishioka qui soit également valable pour des systèmes mahlériens définis sur des corps de fonctions en caractéristique non nulle. Nous reprenons l’approche introduite dans un cas particulier par Denis en 1999. Celle-ci s’appuie sur un critère d’indépendance algébrique général dû à Philippon. La motivation principale de notre travail repose sur le fait remarquable, découvert par Denis, que dans le contexte des corps de fonctions en caractéristique non nulle, des analogues de périodes comme π ou les valeurs aux entiers de la fonction ζ de Riemann s’obtiennent comme valeurs de fonctions mahlériennes en des points algébriques.

In 1990, Ku. Nishioka proved a fundamental theorem for Mahler’s method, which is the analog of the Siegel–Shidlovskii theorem for Mahler functions. In this article, we establish a version of Ku. Nishioka’s theorem which is also valid for Mahler systems over function fields of positive characteristic. We follow the approach introduced by Denis in 1999 in a particular case. It is based on an algebraic independence criterion from Philippon. The main motivation of this work is built on the following remarkable fact discovered by Denis. Over function fields of positive characteristic, analogs of periods such as π or the values at integer points of the Zeta Riemann function can be obtained as values of Mahler functions at algebraic points.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/aif.3216
Classification : 11J85
Mot clés : Méthode de mahler, caractéristique non nulle, théorème de Ku. Nishioka, indépendance algébrique, transcendance
Keywords: Mahler’s method, positive characteristic, Ku. Nishioka’s theorem, algebraic independence, transcendence
Fernandes, Gwladys 1

1 Université Claude Bernard Lyon 1 43 boulevard du 11 novembre 1918 69622 Villeurbanne Cedex (France)
@article{AIF_2018__68_6_2553_0,
     author = {Fernandes, Gwladys},
     title = {M\'ethode de {Mahler} en caract\'eristique non nulle~: un analogue du th\'eor\`eme de {Ku.} {Nishioka}},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {2553--2580},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {68},
     number = {6},
     year = {2018},
     doi = {10.5802/aif.3216},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.3216/}
}
TY  - JOUR
AU  - Fernandes, Gwladys
TI  - Méthode de Mahler en caractéristique non nulle : un analogue du théorème de Ku. Nishioka
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2018
SP  - 2553
EP  - 2580
VL  - 68
IS  - 6
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.3216/
DO  - 10.5802/aif.3216
LA  - fr
ID  - AIF_2018__68_6_2553_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Fernandes, Gwladys
%T Méthode de Mahler en caractéristique non nulle : un analogue du théorème de Ku. Nishioka
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2018
%P 2553-2580
%V 68
%N 6
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.3216/
%R 10.5802/aif.3216
%G fr
%F AIF_2018__68_6_2553_0
Fernandes, Gwladys. Méthode de Mahler en caractéristique non nulle : un analogue du théorème de Ku. Nishioka. Annales de l'Institut Fourier, Tome 68 (2018) no. 6, pp. 2553-2580. doi : 10.5802/aif.3216. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.3216/

[1] Adamczewski, Boris; Faverjon, Colin Méthode de Mahler : relations linéaires, transcendance et applications aux nombres automatiques, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 115 (2017) no. 1, pp. 55-90 | Zbl

[2] Adamczewski, Boris; Faverjon, Colin Méthode de Mahler, transcendance et relations linéaires : aspects effectifs (2017) (à paraître au J. Théor. Nombres Bordeaux, https://arxiv.org/abs/1610.09136)

[3] Adamczewski, Boris; Rivoal, Tanguy Exceptional values of E-functions at algebraic points, Bull. Lond. Math. Soc., Volume 50 (2018), pp. 697-708

[4] Allouche, Jean-Paul; Mendès France, Michel; van der Poorten, Alfred J. Indépendance algébrique de certaines séries formelles, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 116 (1988) no. 4, pp. 449-454 | MR | Zbl

[5] Anderson, Greg W.; Brownawell, W. Dale; Papanikolas, Matthew A. Determination of the algebraic relations among special Γ-values in positive characteristic, Ann. Math., Volume 160 (2004) no. 1, pp. 237-313 | DOI | MR

[6] Beukers, Frits A refined version of the Siegel–Shidlovskii theorem, Ann. Math., Volume 163 (2006) no. 1, pp. 369-379 | DOI | MR | Zbl

[7] Bosser, Vincent Indépendance algébrique de valeurs de séries d’Eisenstein (théorème de Nesterenko), Formes modulaires et transcendance (Séminaires et Congrès), Volume 12, Société Mathématique de France, 2005, pp. 119-178 | MR | Zbl

[8] Carlitz, Leonard On certain functions connected with polynomials in a Galois field, Duke Math. J., Volume 1 (1935) no. 2, pp. 137-168 | DOI | MR

[9] Denis, Laurent Indépendance algébrique des dérivées d’une période du module de Carlitz, J. Aust. Math. Soc., Ser. A, Volume 69 (2000) no. 1, pp. 8-18 | MR

[10] Denis, Laurent Indépendance algébrique de logarithmes en caractéristique p, Bull. Aust. Math. Soc., Volume 74 (2006) no. 3, pp. 461-470 | DOI | MR

[11] Kubota, Kenneth K. Linear functional equations and algebraic independence, Transcendence theory : advances and applications (Proc. Conf., Univ. Cambridge, Cambridge, 1976), Academic Press, 1977, pp. 227-229 | MR | Zbl

[12] Kubota, Kenneth K. On the algebraic independence of holomorphic solutions of certain functional equations and their values, Math. Ann., Volume 227 (1977) no. 1, pp. 9-50 | DOI | MR

[13] Loxton, John H.; van der Poorten, Alfred J. Arithmetic properties of certain functions in several variables, J. Number Theory, Volume 9 (1977) no. 1, pp. 87-106 | DOI | MR | Zbl

[14] Loxton, John H.; van der Poorten, Alfred J. Arithmetic properties of certain functions in several variables. II, J. Number Theory, Volume 24 (1977) no. 4, pp. 393-408 | DOI | MR | Zbl

[15] Loxton, John H.; van der Poorten, Alfred J. Arithmetic properties of certain functions in several variables. III, Bull. Aust. Math. Soc., Volume 16 (1977) no. 1, pp. 15-47 | DOI | MR | Zbl

[16] Lucas, Édouard Sur les congruences des nombres eulériens et les coefficients différentiels des functions trigonométriques suivant un module premier, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 6 (1878), pp. 49-54 | MR | Zbl

[17] Mahler, Kurt Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen, Math. Ann., Volume 101 (1929) no. 1, pp. 342-366 | DOI | MR | Zbl

[18] Mahler, Kurt Lectures on transcendental numbers, 1969 Number Theory Institute (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics), Volume 20, American Mathematical Society, 1971, pp. 248-274 | MR | Zbl

[19] Nesterenko Algebraic independence, Narosa Publishing House, 2009, viii+162 pages | MR

[20] Nishioka, Kumiko New approach in Mahler’s method, J. Reine Angew. Math., Volume 407 (1990), pp. 202-219 | DOI | MR

[21] Nishioka, Kumiko Mahler functions and transcendence, Lecture Notes in Mathematics, 1631, Springer, 1996, viii+185 pages | DOI | MR | Zbl

[22] Pellarin, Federico An introduction to Mahler’s method for transcendence and algebraic independence (2011) (https://arxiv.org/abs/1005.1216v2)

[23] Philippon, Patrice Critères pour l’indépendance algébrique, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. (1986) no. 64, pp. 5-52 | MR

[24] Philippon, Patrice Critères pour l’indépendance algébrique dans les anneaux diophantiens, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 315 (1992) no. 5, pp. 511-515 | MR

[25] Philippon, Patrice Groupes de Galois et nombres automatiques, J. Lond. Math. Soc., Volume 92 (2015) no. 3, pp. 596-614 | DOI | MR

[26] Shidlovskii, Andrei Borisovich Transcendental numbers, De Gruyter Studies in Mathematics, 12, Walter de Gruyter, 1989, xx+466 pages | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :