In the paper Pappus’s theorem and the modular group, R. Schwartz constructed a -dimensional family of faithful representations of the modular group into the group of projective symmetries of the projective plane via Pappus Theorem. The image of the unique index subgroup of under each representation is in the subgroup of and preserves a topological circle in the flag variety, but is not Anosov. In her PhD Thesis [18, 19], V. P. Valério elucidated the Anosov-like feature of Schwartz representations: for every , there exists a -dimensional family of Anosov representations of into whose limit is the restriction of to . In this paper, we improve her work: for each , we build a -dimensional family of Anosov representations of into containing and a -dimensional subfamily of which can extend to representations of into . Schwartz representations are therefore, in a sense, the limits of Anosov representations of into .
Dans l’article Pappus’s theorem and the modular group R. Schwartz a montré que le Théorème de Pappus fournissait une famille à deux paramètres de représentations du groupe modulaire dans le groupe de symétries projectives du plan projectif. L’image de l’unique sous-groupe d’indice de par chaque de est contenue dans le sous-groupe de formé des transformations projectives, et préserve un cercle topologique dans la variété des drapeaux. Cependant, elles ne sont pas Anosov. Dans sa thèse [18, 19], V. P. Valério a élucidé ce comportement de type Anosov des représentations de Schwartz. Pour chaque représentation , il existe une famille à un paramètre de représentations Anosov de dans telles que soit la restriction de à et de sorte que soit Anosov pour . Dans le présent article, nous améliorons son travail. Pour chaque représentation , nous construisons une famille à deux paramètres de représentations Anosov de vers contenant les , ainsi qu’une sous-famille à un paramètre de représentations qui s’étendent en des représentations de vers . Ceci montre qu’en un certain sens, les représentations de Schwartz sont dans le bord de l’ensemble des représentations Anosov dans l’espace de toutes les représentations de vers .
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Keywords: Pappus Theorem, modular group, group of projective symmetries, Farey triangulation, Schwartz representation, Gromov-hyperbolic group, Anosov representation, Hilbert metric
Mot clés : Théorème de Pappus, groupe modulaire, groupe de symétries projectives, triangulation de Farey, représentation de Schwatz, groupe hyperbolique au sens de Gromov, représentation Anosov, métrique de Hilbert
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Barbot, Thierry; Lee, Gye-Seon; Valério, Viviane Pardini. Pappus Theorem, Schwartz Representations and Anosov Representations. Annales de l'Institut Fourier, Volume 68 (2018) no. 6, pp. 2697-2741. doi : 10.5802/aif.3221. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.3221/
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