Twisters and signed fundamental domains for number fields

Espinoza, Milton; Friedman, Eduardo

Annales de l'Institut Fourier, Tome 70 (2020) no. 2, pp. 479-521.

Soit $k$ un corps de nombres de degré $n=r_1+2r_2$ admettant au moins une place réelle (i.e. $r_1>0$). Nous présentons un domaine fondamental signé pour l’action des unités totalement positives $E_{+}$ de $k$ sur ${ℝ}_{+}^{r_1}\times {{ℂ}^{*}}^{r_2}$, où ${ℝ}_{+}$ désigne l’ensemble des nombres réels positifs. Le domaine fondamental signé est formé de cônes $k$-rationnels $C_{\alpha }$ de dimension $n$, chacun muni d’un signe ${\mu }_{\alpha }=\pm 1$ avec la propriété suivante : pour chaque $E_{+}$-orbite, la somme signée des intersections des cônes avec l’orbite est égale à 1.

Nous construisons explicitement les cônes $C_{\alpha }$ et les signes ${\mu }_{\alpha }$ à partir d’un ensemble arbitraire d’unités fondamentales totalement positives et d’un ensemble de $3^{r_2}$ « twisters » . Ces derniers sont des éléments de $k$ dont les arguments aux $r_2$ places complexes de $k$ sont suffisamment bien distribués. L’introduction des « twisters » fournit le nombre exact de générateurs pour les cônes $C_{\alpha }$ et permet de les faire tourner autour de l’origine de façon contrôlée dans chaque plongement complexe.

We give a signed fundamental domain for the action on ${ℝ}_{+}^{r_1}\times {{ℂ}^{*}}^{r_2}$ of the totally positive units $E_{+}$ of a number field $k$ of degree $n=r_1+2r_2$ which we assume is not totally complex. Here $r_1$ and $r_2$ denote the number of real and complex places of $k$ and ${ℝ}_{+}$ denotes the positive real numbers. The signed fundamental domain consists of $n$-dimensional $k$-rational cones $C_{\alpha }$, each equipped with a sign ${\mu }_{\alpha }=\pm 1$, with the property that the net number of intersections of the cones with any $E_{+}$-orbit is 1.

The cones $C_{\alpha }$ and the signs ${\mu }_{\alpha }$ are explicitly constructed from any set of fundamental totally positive units and a set of $3^{r_2}$ “twisters”, i.e. elements of $k$ whose arguments at the $r_2$ complex places of $k$ are sufficiently varied. Introducing twisters gives us the right number of generators for the cones $C_{\alpha }$ and allows us to make the $C_{\alpha }$ turn in a controlled way around the origin at each complex embedding.

Classification : 11R27, 11Y40, 11R42, 11R80
Keywords: Shintani domains, number fields, fundamental domains, units.
Mot clés : domaines de Shintani, corps de nombres, domaines fondamentaux, unités.

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[9] Shintani, Takuro A remark on zeta functions of algebraic number fields, Automorphic Forms, Representation Theory and Arithmetic (Bombay Colloquium, 1979), Springer (1981), pp. 255-260 | DOI | MR | Zbl