Extension of torsors and prime to $p$ fundamental group scheme

Antei, Marco; Calvo-Monge, Jimmy

Annales de l'Institut Fourier, Tome 72 (2022) no. 1, pp. 367-386.

Soit $R$ un anneau de valuation discrète. Soit $X$ un $R$-schéma propre et fidèlement plat, muni d’une section $x\in X\left(R\right)$, ayant des fibres intègres et normales. Soit $f:Y\to X_{\eta }$ un $G$-torseur fini et Nori-réduit. Dans cet article on introduit une condition suffisante pour étendre $f:Y\to X_{\eta }$ en un torseur au dessus de $X$. De plus, lorsque $R$ est complet de caractéristique résiduelle $p>0$ et $X\to \mathrm{Spec}\left(R\right)$ est lisse, nous utilisons notre méthode pour démontrer que le morphisme naturel ${\psi }^{\left(p^{\prime }\right)}:\pi {(X_{\eta },x_{\eta })}^{\left(p^{\prime }\right)}\to \pi {(X,x)}_{\eta }^{\left(p^{\prime }\right)}$ entre la partie première à $p$ du schéma en groupe fondamental de $X_{\eta }$ et la fibre générique de la partie première à $p$ du schéma en groupes fondamental de $X$ est un isomorphisme. Cela généralise un résultat bien connu pour le groupe fondamental étale. Les méthodes utilisées sont purement tannakiennes.

Let $R$ be a discrete valuation ring. Let $X$ be a proper and faithfully flat $R$-scheme, endowed with a section $x\in X\left(R\right)$, with integral and normal fibres. Let $f:Y\to X_{\eta }$ be a finite Nori-reduced $G$-torsor. In this paper we provide a useful criterion to extend $f:Y\to X_{\eta }$ to a torsor over $X$. Furthermore in the particular situation where $R$ is a complete discrete valuation ring of residue characteristic $p>0$ and $X\to \mathrm{Spec}\left(R\right)$ is smooth we apply our criterion to prove that the natural morphism ${\psi }^{\left(p^{\prime }\right)}:\pi {(X_{\eta },x_{\eta })}^{\left(p^{\prime }\right)}\to \pi {(X,x)}_{\eta }^{\left(p^{\prime }\right)}$ between the prime-to-$p$ fundamental group scheme of $X_{\eta }$ and the generic fibre of the prime-to-$p$ fundamental group scheme of $X$ is an isomorphism. This generalizes a well known result for the étale fundamental group. The methods used are purely tannakian.

Classification : 14L30, 14L15, 11G99
Keywords: torsors, affine group schemes, models, prime to $p$ torsors.
Mot clés : torseurs, schémas en groupes affines, modèles, torseurs premiers à $p$

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