In this paper, we study, on the set of the extremal points of a compact convex set , facial topologies for which closed sets are the intersection with of “parallel” faces (there exists a greatest face disjoint of , and, for every in , , with unique). There exists a bijection between the uniformizable facial topologies and the closed sub-lattices containing 1 of the space of the affine continuous functions on . This gives classical results on simplexes, and permits a geometrical study of the sub-lattices of .
Every function of which is continuous for a facial topology has a functional calculus which uses a spectral decomposition of ( for universally measurable on the “spectrum” of ). All the classical concepts of spectral theory have a geometrical interpretation on the compact convex set ; for example, if has an extension to which verifies the barycenter calculus, and is “approximable” by using the function .
Such a spectral decomposition exists also for a lower semi-continuous function for a facial topology, with geometrical interpretation of the concepts of spectral theory.
Cet article étudie, sur l’ensemble des points extrémaux d’un convexe compact , des topologies faciales dont les fermés sont les traces de faces “parallélisables” (il existe une plus grande face disjointe de , et tout de s’écrit , avec unique). Les topologies faciales uniformisables sont en bijection avec les sous-espaces réticulés fermés et contenant 1 de l’espace des fonctions affines continues sur . Ceci redonne des résultats classiques sur les simplexes, et permet une étude géométrique des sous-espaces réticulés de .
Toute fonction de continue pour une topologie faciale admet un calcul fonctionnel utilisant une décomposition spectrale de ( pour universellement mesurable sur le “spectre” de ). Toutes les notions classiques de théorie spectrale ont une interprétation géométrique sur le convexe compact ; en particulier, si est universellement mesurable sur pour la topologie faciale la moins fine rendant continue, elle possède un prolongement vérifiant le calcul barycentrique et “approchable” au moyen de .
Enfin, une décomposition spectrale subsiste pour une fonction semi-continue inférieurement pour une topologie faciale, avec interprétation géométrique des notions de théorie spectrale.
@article{AIF_1972__22_1_1_0, author = {Rogalski, Marc}, title = {Topologies faciales dans les convexes compacts. {Calcul} fonctionnel et d\'ecomposition spectrale dans le centre d{\textquoteright}un espace $A(X)$}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {1--66}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {22}, number = {1}, year = {1972}, doi = {10.5802/aif.401}, mrnumber = {48 #12020}, zbl = {0219.52001}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.401/} }
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Rogalski, Marc. Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace $A(X)$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 1, pp. 1-66. doi : 10.5802/aif.401. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.401/
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