Sur l'arithmétique d'une extension diédrale

Bergé, Anne-Marie

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 2, pp. 31-59.

Étant donnée une extension galoisienne $E/\mathbf{Q}$ de groupe de Galois $G$ diédral, on montre que l’anneau $B$ des entiers de $E$ est un $\mathbf{Z}\left[G\right]$-module isomorphe à l’ordre formé des éléments de $\mathbf{Q}\left[G\right]$ qui transportent $B$ dans lui-même (ordre décrit explicitement suivant la ramification de l’extension $E/\mathbf{Q}$. On a rattaché cette étude à la recherche, pour chaque ordre $𝔇$ de $\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{Q}\left[G\right]$ contenant $\mathbf{Z}\left[G\right]$, d’invariants caractérisant à un isomorphisme près les modules sur $𝔇$, et qui permettent notamment un calcul du groupe des classes projectives de $𝔇$.

Let $E/\mathbf{Q}$ be a normal extension whose Galois group $G$ is bihedral. The ring $B$ of the algebraic integers of $E$ is shown to be isomorphic, as a $\mathbf{Z}\left[G\right]$-module, to the order which is the set of the elements of $\mathbf{Q}\left[G\right]$ carrying $B$ in itself (a detailed description of this order is given in relation with the ramification of the extension). These results are deduced from a more general study of each $\mathbf{Z}$-order in $\mathbf{Q}\left[G\right]$ containing $\mathbf{Z}\left[G\right]$: invariants which uniquely determine the lattices over such an order up to isomorphism are given, and the projective class group of this order is described.

[1] N. Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 7, Paris, Hermann, (1965) (Act. scient. et ind., 1314 ; Bourbaki, 31). | Zbl

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[5] J. Martinet, Modules sur l'algèbre du groupe quaternionien (à paraître aux Annales de l'E.N.S.). | EuDML | Numdam | Zbl

[6] D. S. Rim, Modules over finite groups, Annals of Math., Series 2, t. 69, 1959, 700-712. | MR | Zbl

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