Structure presque tangente et connexions II

Grifone, Joseph

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 3, pp. 291-338.

En utilisant le formalisme introduit dans un article précédent, on établit les relations qui lient les connexions non linéaires, sur une variété $M$ et les connexions linéaires sur le fibré vertical (connexions de vecteurs et de directions).

Les résultats sont ensuite appliqués à la géométrie finslérienne et l’on interprète les connexions de Berwald et de Cartan en termes de relèvements particuliers de la connexion canonique.

Dans le cadre d’un système mécanique, on montre qu’il existe un relèvement métrique de la connexion canonique si et seulement si l’énergie se décompose en la somme d’une fonction homogène de degré deux et d’une fonction homogène de degré un.

Using the formalism introduced in a precedent paper, we establish the relations between non linear connections on a manifold $M$ and non linear connections on the vertical fiber bundle (vector and direction connections).

The results are applied to finslerian geometry and we interpret the Berwald and Cartan connections in terms of special liftings of the canonical connection.

In the case of a mechanical system, we prove that there exists a metric lifting of the canonical connection if and only if the energy splits into a sum of two homogeneous functions of degree 1 and 2 respectively.

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