L’objet de la note est l’étude d’un problème de Cauchy pour l’équation fonctionnelle : , , avec , , quand . On suppose que la solution et les données sont des éléments d’un espace , est un opérateur linéaire de domaine , les dérivées et les limites sont prises au sens fort. Une solution est du type normal si reste borné quant . On montre que le problème admet au plus une solution du type normal pour n’importe quelles données dans , si est clos et ses valeurs propres ne sont pas denses dans aucun demi-plan droit.
Si , si est clos et si le problème admet une solution du type normal restreint, , pour chaque , alors engendre un semi-groupe , fortement continu, et . Si et si et engendrent des semi-groupes fortement continus à , ceux-ci forment un groupe, la solution du problème de Cauchy existe pour , et s’exprime en moyen de et . Si , le problème général ne semble pas être résoluble et il faut le remplacer par un problème réduit avec un nombre des conditions initiales. Si engendre un semi-groupe analytique dans un secteur, , et continu sur la frontière, on peut prendre égale au nombre de racines d’unité d’ordre dans le secteur fermé et on exprime la solution du problème réduit en moyen des valeurs de sur les rayons contenant les racines d’unité.
@article{AIF_1952__4__31_0, author = {Hille, Einar}, title = {Une g\'en\'eralisation du probl\`eme de {Cauchy}}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {31--48}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {4}, year = {1952}, doi = {10.5802/aif.44}, mrnumber = {15,718c}, zbl = {0055.34503}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.44/} }
Hille, Einar. Une généralisation du problème de Cauchy. Annales de l'Institut Fourier, Volume 4 (1952), pp. 31-48. doi : 10.5802/aif.44. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.44/
[1] Functional Analysis and Semi-Groups. American Mathematical Society, Colloquium Lectures XXXI, New-York, 1948. | MR | Zbl
.[2] On the Generation of Semi-Groups and the Theory of Conjugate Functions. Proc. R. Physiographical Society, Lund, t. 21, n° 14, 1951, 130-142. | MR | Zbl
.[3] A Note on Cauchy's Problem. Annales de la Société Polonaise de Mathématiques, t. 25, 1952, 13 p. | MR | Zbl
.Cited by Sources: