Foliations and spinnable structures on manifolds

Tamura, Itiro

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 2, pp. 197-214.

On étudie une structure nouvelle, dite spinnable, sur des variétés différentielles. On dit qu’une variété différentielle est spinnable si elle peut tourner autour d’une sous-variété de codimension 2 qui s’appelle l’axe, comme une toupie.

Le résultat principal de cet article est le suivant : soit $M$ une variété différentielle compacte, $(n-1)$-connexe de dimension $2n+1(n\ge 3)$, du feuilletage de codimension 1 sur $S^{2n+1}$, on en déduit que $M$ admet une feuilletage de codimension 1.

In this paper we study a new structure, called a spinnable structure, on a differentiable manifold. Roughly speaking, a differentiable manifold is spinnable if it can spin around a codimension 2 submanifold, called the axis, as if the top spins.

The main result is the following: let $M$ be a compact $(n-1)$-connected $(2n+1)$-dimensional differentiable manifold $(n\ge 3)$, then $M$ admits a spinnable structure with axis $S^{2n+1}$. Making use of the codimension-one foliation on $S^{2n+1}$, this yields that $M$ admits a codimension-foliation.

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