Mittelergodische Halbgruppen linearer Operatoren

Nagel, Rainer J.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 4, pp. 75-87.

Un demi-groupe $H$ contenu dans ${\mathbf{L}}_s\left(E\right)$, $E$ espace de Banach, est dit ergodique en moyenne quand son enveloppe convexe fermée dans ${\mathbf{L}}_s\left(E\right)$ possède un zéro. Les groupes compacts, les demi-groupes compacts commutatifs ou les demi-groupes contractifs sur les espaces de Hilbert sont ergodiques en moyenne.

En particulier, les espaces de Banach réticulés fournissent un cadre naturel pour d’autres théorèmes ergodiques en moyenne. Soit $H$ un demi-groupe borné d’opérateurs positifs sur un espace de Banach réticulé $E$ possédant une norme continue pour l’ordre. Alors $H$ est ergodique en moyenne quand il y a un point quasi-intérieur de $E_{+}$ sous-invariant pour $H$ et une forme linéaire strictement positive sur $E$ sous-invariante pour $H^{\prime }$.

A semigroup $H$ in ${\mathbf{L}}_s\left(E\right)$, $E$ a Banach space, is called mean ergodic, if its closed convex hull in ${\mathbf{L}}_s\left(E\right)$ has a zero element. Compact groups, compact abelian semigroups or contractive semigroups on Hilbert spaces are mean ergodic.

Banach lattices prove to be a natural frame for further mean ergodic theorems: let $H$ be a bounded semigroup of positive operators on a Banach lattice $E$ with order continuous norm. $H$ is mean ergodic if there is a $H$-subinvariant quasi-interior point of $E_{+}$ and a $H^{\prime }$-subinvariant strictly positive linear form in $E^{\prime }$

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