Étude et extensions du principe de Dirichlet

Brelot, Marcel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 5 (1954), pp. 371-419.

Le principe de Dirichlet est modernisé en utilisant la théorie indépendante du problème de Dirichlet. On se place dans les “espaces de Green” $ℰ$ à $\tau \ge 2$ dim. (comprenant en particulier les surfaces de Riemann hyperboliques) et on utilise les fonctions $\left(BLD\right)$ que Deny a introduites à partir des fonctions dites $\left(BL\right)$ et dont les classes d’équivalence forment un espace de Hilbert (où la norme est la racine carrée de l’intégrale de Dirichlet).

Mais le point le plus important est dans l’expression des conditions-frontière. On utilise la notion récente de lignes de Green (trajectoires orthogonales des surfaces $G_p=C^{\mathrm{te}}$) sur lesquelles sont choisies une topologie et une mesure $dg$. La limite en moyenne-$dg$ sur les surfaces $G_p=\mathrm{const}.\lambda$ quand $\lambda \to 0$, d’une fonction $f$ dans $ℰ$ est dite radiale de $f$. Toute fonction $\left(BLD\right)$ admet une radiale. Cela posé, si l’on part d’une fonction $f\left(BLD\right)$ dans $\mathbf{E}$, la solution du problème de Dirichlet $H_f^{{\Omega }_n}$ relative à un domaine ${\Omega }_n$ tendant en croissant vers $ℰ({\overline{\Omega }}_n\subset \mathbf{E})$ a une limite qui est, à une constante près, la seule fonction harmonique $\left(BLD\right)$ minimisant $\parallel u-f\parallel$ ; c’est aussi la seule fonction $\left(BLD\right)$ de radiale égale à celle de $f$ et qui soit harmonique, ou bien de norme minima.

Tout cela est inspiré d’une étude très particulière par Bochner dans le cas de domaines limités par des sphères et dérive, comme la théorie classique depuis Nikodym, d’une interprétation géométrique dans un espace de Hilbert. L’extension faite au cas d’une partie de frontière libre suggère des recherches ultérieures.

[1] Ahlfors, Das Dirichletsche Prinzip (Math. Annalen, 120, p. 36). | MR | Zbl

[2] N. Aronszajn et K. T. Smith, Functional spaces and functional completion (Report 10 (1954), about " Studies on eigenvalues problems ", written under Contract with the office of Naval Research, and improving the Report 7 of N. Aronszajn with the same title (1952). Kansas University, Lawrence, USA).

[3] Bochner, Dirichlet problem for domains bounded by spheres (Annals of Math. Studies, n°25, Princeton, 1950). | MR | Zbl

[4] Brelot a) Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques (Annales Ecole Norm. Sup., 61, 1944, p. 301-332). | Numdam | MR | Zbl

[4] Brelot b) Le problème de Dirichlet ramifié (Annales Univ. Grenoble, 22, 1946, p. 167-200). | Numdam | MR | Zbl

[4] Brelot c) Étude des fonctions sousharmoniques au voisinage d'un point singulier (Annales Inst. Fourier, 1, 1949, p. 121-156). | Numdam | MR | Zbl

[4] Brelot d) Principe et problème de Dirichlet dans les espaces de Green (C. R. Ac. Sc, 235, 1952, p. 598). | MR | Zbl

[4] Brelot e) Lignes de Green et problème de Dirichlet (C. R., 235, 1952 p. 1595). | MR | Zbl

[4] Brelot f) La théorie moderne du potentiel (Annales Inst. Fourier, 4, année 52, paru en 54, p. 113-140). | Numdam | MR | Zbl

[4] Brelot g) Majorantes harmoniques et principe du maximum (Archiv. der Math., 5, 1954, p. 429-440). | MR | Zbl

[5] Brelot et Choquet, Espaces et lignes de Green (Annales Institut Fourier, 3, année 1951, paru fin 52, p. 119-263). | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[6] Calkin et Morrey, Functions of several variables and absolute continuity (Part. I by Calkin, part II by Morrey, Duke Math. J., 6, 1940, p. 170-215). | JFM | MR | Zbl

[7] Courant, Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces (Pure and applied math., 3, Interscience publishers, New York 1950). | MR | Zbl

[8] Deny, Les potentiels d'énergie finie (Acta math., 82, 1950 p. 107-183). | MR | Zbl

[9] Deny et Lions, Les espaces du type de Beppo Levi (Annales Inst. Fourier, 5, années 53-54 ce vol. p. 305-370). | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[10] Nikodym, a) Sur une classe de fonctions considérées dans l'étude du problème de Dirichlet (Fundamenta Math., 21, 1933, p. 129-150). | EuDML | JFM | Zbl

[10] Nikodym, b) Sur un théorème de M. Zaremba concernant les fonctions harmoniques (J. de math., 12, 1933, p. 95-108). | EuDML | JFM | Numdam | Zbl

[10] Nikodym, c) Sur le principe du minimum (Mathematica, 9, 1935 p. 110-128). | JFM | Zbl

[11] Schauder, Potential theoretische Untersuchungen (Math. Zeitsch., 33, 1931, p. 602-640). | EuDML | JFM | MR | Zbl

[12] B. Von Sz. Nagy, Spektraldarstellungen linearer Transformationen des Hilbertschen Raumes (Ergebn. der Math., 5, 1942). | JFM | MR | Zbl

[13] Zaremba, Sur un problème toujours possible comprenant à titre de cas particuliers le problème de Dirichlet et celui de Neumann (J. math., 6, 1927, p. 127-163). | EuDML | JFM | Numdam